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Der getroffenen Festsetzung zufolge ist der Bereich T' ein Theil des 

 Bereiches T. Die Wahl des Bereiches T' ist einzig der Beschränkung unter- 

 worfen, dass die Grösse -^ für jeden Punkt der Begrenzung desselben einen 



endlichen bestimmten Werth haben muss. 



In dem Folgenden wird der Bereich Ï' der Bedingung gemäss gewählt 

 werden, dass die Gesammtheit der dem Innern dieses Bereiches angehörenden 

 Stellen {x, y) übereinstimmt mit der Gesammtheit derjenigen Stellen {x, y), für 

 welche der Werth einer der erklärten Functionen iv,„[x, y) grösser ist, als 

 eine von Null verschiedene positive, hinsichtlich ihrer Kleinheit keiner Be- 

 schränkung unterliegende Grösse e,,,. 



Ist insbesondere die Function p{x,y) eine analytische Function ihrer 

 beiden Argumente, so ist auch die Gleichung der Begrenzungslinie des auf 

 die angegebene Weise erklärten Bereiches, w„,,(x, y) = e,„, eine analytische Linie 

 von endlicher Länge, welche, wenn einzelne Werthe der Grösse t,,, ausge- 

 schlossen werden, die Eigenschaft besitzt, dass für jeden Punkt derselben die 



Grösse --^ einen endlichen bestimmten Werth hat. 



OV 



IL Wird dem Index m der Werth n beigelegt und das Gebiet T' durch 

 die Bedingung w„ (x, y) ^ f„ erklärt, so ergibt sich die Gleichung 



P "^'^n^i **n dx dy = — \ \ w„ Jw„ dx dy = 



(T') T' 



T' 



dx J \ dtj 



dx dy. 



Da das Randintegral, dessen Werth e„ -^dl nicht grösser ist als f„ TT-^o,«-!, 



(T') 



für Um £„ = ebenfalls den Grenzwerth Null hat, so ergibt sich, weil beim 

 Uebergange zur Grenze s„=0 der Bereich T' in den Bereich T übergeht, 

 die Gleichung 



(14.) Tr„_:, „ =jjp w„_, w,, dx dy =^j [('^^) V (5*T] ^^ ^y = ^". " ■ 



T T 



Durch die vorstehende Gleichung ist zugleich der Nachweis erbracht, 

 dass das mit F„,„ bezeichnete bestimmte Integral, dessen Elemente sämmtlich 

 positiv sind, die Eigenschaft besitzt, unbedingt convergent zu sein. 



