344 H. A. S c H w A R z. 



Es bestehen also für jeden ganzzaliligen Werth von k, welcher kleiner 

 ist als n, die Gleichungen 



(20.) p 'Wo w„ dx dy = { \ p w,, w„ _ ,, dx dy = W^ , 



T T 



T T 



15. 

 Einführung der Constante c. 



Der bekannte Satz, dass die Discriminante einer défini t en binären qua- 

 dratischen Form stets einen positiven von Null verschiedenen Werth besitzt, 

 kann dazu angewendet werden, um eine Beziehung zwischen den absoluten 

 Beträgen der über denselben Bereich T auszudehnenden drei Doppelintegrale 



A—iifp^dxdy, B = \ [ (fidx dy, C = \ \ y"' dx dy herzuleiten, eine Bezie- 

 hung, deren Kenntniss für die folgende Untersuchung von Wichtigkeit ist. 



Die Grössen g,/ bedeuten zwei reelle, für alle Stellen {x,y) des Be- 

 reiches T eindeutig erklärte Functionen der beiden Argumente x,y, welche 

 die Eigenschaft haben, erstens, dass die über den Bereich T ausgedehnten 

 Doppelintegrale A, B, C unbedingt convergent sind, zweitens, dass der Quo- 

 tient der beiden Functionen cp und % nicht einer Constanten gleich ist. 



Unter den angegebenen Voraussetzungen ist die binäre quadratische Form 



i i (acf) + ßyy dx dy = A.a'-\- 2B- aß + C.ß- eine definite, weil das Doppel- 

 integral, dessen Werth mit dem Werthe der quadratischen Form übereinstimmt, 

 für kein von dem Werthepaare « = 0, /3 = verschiedenes Paar reeller M^'erthe 

 der Grössen «, ß gleich Null wird. Hieraus ergibt sich also die Beziehung 



(21.) AC-B'>0 oder \b\<\/^.\/C. 



Wenn (p~\/p.w„, x = [^P-'W>„^i gesetzt wird, so erhalten A, B, C be- 

 ziehlich die Werthe W2,,, Tfg^ + i, TF2« + 2- Es besteht demnach zwischen diesen 

 drei Grössen die Beziehung 



(22.) ■ ^^<-^- 



