lieber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 345 



Durcli eine ganz analoge Schlussweise ergibt sich aus der Gleichung 



T 



die Beziehung 



^2« ^ ^'"2„ + l 



Durch Verbindung der beiden Beziehungen (22.) und (23.) ergibt sich 

 . V ^1 ^2 w^ w„ Tr„,, 



Wird nun der Werth des Quotienten -rp — mit c„ bezeichnet, so wird 



jedem den angegebenen Bedingungen genügenden Bereiche T eine unbegrenzte 

 Anzahl beständig zunehmender Constanten c^, c,,.,c^, ■ ■ c„,. ■ zugeordnet. 



Die obere Grenze dieser coustanten Grössen, eine für den betrachteten 

 Bereich T in Bezug auf die zu Grvinde gelegte positive Function p charakte- 

 ristische Constante, möge mit c bezeichnet weiden. 



Dass die Grössen c^, 6„, C3, . . c„, . . eine bestimmte endliche obere Grenze 

 besitzen, kann folgendermassen bewiesen werden. 



Es bezeichne g den grössten unter allen denjenigen Wertheu, welche 

 die Function w^ innerhalb des Bereiches T annimmt. Unter dieser Voraus- 

 setzung erlangt keine der Functionen iv^ — !J^i\,, i<-'.. — U t(-\, ■ Wn — giVn-i.,- ■ im 

 Innern des Bereiches T einen positiven Werth, mithin haben die Grössen 



T 



^2«+ 1 - 9 W^n ^\\P '^^n + 1 C«^'« - 9 «*n-l) äx dl/ 

 T 



negative Werthe, folglich ist jede der beiden Grössen C2„,C2„ + i kleiner als 

 die Grösse g. Hieraus ergibt sich aber, dass die obere Grenze c der Con- 

 stanten c,, c^, Cj, . . G„, ■ . ■ einen endlichen Werth besitzt. 



16. 

 Einführung der Grösse Q. 



Aus der im vorhergehenden Art. abgeleiteten Beziehung zwischen den 

 Werthen der mit A, B, C bezeichneten drei Doppelintegrale ergibt sich, wenn 



