lieber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 349 



In Folge der unbedingten Convergenz des unendliclien Productes JJ |-!îLJ 



nähert sich der Werth der Grösse 'îo„, für unbegrenzt wachsende Werthe des 

 Index m beständig abnehmend einem bestimmten von Null verschiedenen 

 Grenzwerthe, welcher mit 2Ö bezeichnet werden soll. 



Es ergibt sich ii 2}-m„dxdy = ^,„ ii pm„,m„dxdy = ^„,^,„ m„<Q\/'^2„. 



T T 



Aus der Gleichung U p (in,, - 111,, + ,,)'' dxdy = 3Ö2« - 2302«+* + ^■2n+2k wird 



T 



zunächst gefolgert, dass der Werth des auf der linken Seite dieser Glei- 

 chung stehenden Doppelintegrales für jeden beliebig grossen positiven ganz- 

 zahligen Werth der Grösse k unendlich klein wird für unendlich grosse Werthe 



des Index n. Folglich wird auch das Doppelintegral \ i p- (m,,- m„^,^y dxdy, 



dessen Werth kleiner ist als P(2öo„ - 22Ö2„ + i+ 2J32„+oj.) = p„, für unendlich 

 grosse Werthe des Index n unendlich klein. Hieraus ergibt sich als eine 

 Folge der Gleichung 



ro, + 1 {X, y) - ro„ + , + , {x, y)^^ {\ p (i, v) «« (^> v) - 1»» + *(^, v) ^ (è, n ; •-«. y) d^ ^n 



T 



bei Anwendung des im Art. 15 bewiesenen Hülfssatzes, dass 



I ro« + 1 (a;, y) -")„+*+! {x, y) j < 2^ \j£iQ„ . 



Also wird der absolute Betrag der Differenz n)„ + i (a',«/) - ro„^i^.i(a;,?/), 

 wenn k eine beliebig grosse positive ganze Zahl bezeichnet, für unendlich 

 grosse Werthe des Index n für alle dem Bereiche T angehörenden Stellen 

 {x,y) in gleichem Grade unendlich klein. 



Hieraus ergibt sich aber, dass die Functionen m„{x,y) für unendlich 

 grosse Werthe des Index n gegen eine bestimmte Grenzfunction convergiren, 

 welche mit m = vo{x, y) bezeichnet werden soll. 



Diese Grenzfunction tu genügt in dem früher angegebenen Sinne für den 



Bereich T der partiellen Differentialgleichung Jxo-\-—pm = und nimmt längs 



der ganzen Begrenzung des Eereiches T den Werth Null an. 



Es ist hiermit der Satz bewiesen: Wenn die bei Zugrundelegung der 

 Function p für den betrachteten Bereich T sich ergebende Constante c den 

 Werth 1 besitzt, so gibt es stets eine Function tu, welche für den Bereich T 

 der partiellen Differentialgleichung ^vo + pro - genügt, welche längs der 



