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H. A. Schwarz. 



ganzen Begrenzung des Bereiches T den Werth Null, im Innern desselben 

 aber nur positive Werthe annimmt. 



20. 

 Die Constante y als Minimum. Polgernngen. 



Es bezeichne u = u {x, y) eine stetige, für alle dem Bereiche T angehö- 

 renden Stellen {x,y) eindeutig erklärte Function der beiden Argumente x,y, 

 welche, ohne beständig gleich Null zu sein, längs der ganzen Begrenzung des 

 betrachteten Bereiches den Werth Null annimmt und für welche das über den 



Bereich T ausgedehnte Doppelintegral j j {-^) + (^) 



dxdy eine bestimmte 



Bedeutung hat. 



Wenn die Werthe der beiden Doppelintegrale 



^^'p.i^'dxdy und JJ [(-£) + (f-f 



dxdy 



zur Abkürzung beziehlich mit t7,('0 '^"'^ "^iC'O bezeichnet werden und mit w, 

 unter der Voraussetzung, dass der Grösse t ein positiver Werth beigelegt 



wird, welcher kleiner ist als ' , die im Art. 17 (25.1 erklärte Function 



iv(x,y;t) bezeichnet wird, so besteht die Gleichung 



,-„ , T / N , T / S C CVl àu II dw \2 , l du u dw \^ 



C26.) J,e«) - tJSu) =jj [(^-1,-ä:^) + {^-i^öi) 



T 



w'elche sich aus der Identität 



dx dy, 



(27.) (Ar-)+(^/)-^J^« = 



I du^ M^ dw 1^ / du ti div Y, à lu- duo \ _d_ / m- dw \ u^ f yiii, i /ai«A 



l ^.r IV à.r I \ dy w dy j dx \ lo dx } dy \ w dy ) lo ^ "1" i J 



durch Integration ergibt. 



Der Gleichung (26.) zufolge ist der Werth des Quotienten -j-Â für jede 

 den angegebenen Bedingungen genügende Function u grösser als die Gi'össc t. 

 Hieraus ergibt sich zunächst der Satz: Unter denjenigen Werthen, welche der 



Quotient j4^ unter den angegebenen Bedingungen annehmen kann, gibt es 

 keinen Werth, welcher kleiner als ist. 



