üeber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 351 



Bezeichnet m ^m{x,y) die im Art. 19 erklärte Function, so ergibt sich 

 in Folge der Identität 



(28.) (l:^r+(^fr-iyn,- = i(n,4'ï) + |(n,f)-n,(^™ + i,n.) 



durch ein Verfahren, welches dem im Art. 14 dargelegten Schlussverfahren 

 analog ist, die Gleichung 



Hieraus folgt : Der Werth der Grösse ist der kleinste unter den- 

 jenigen Werthen, welche der Quotient y'^'^. unter den angegebenen Bedingun- 

 gen annehmen kann. 



Bei gewissen auf den betrachteten Bereich T sich beziehenden Proble- 

 men der Variationsrechnung führt die Untersuchung der in Betracht kommen- 

 den zweiten Variation zu der Frage, ob ein über diesen Bereich auszudehnen- 

 des Düppelintegral 



T 



für alle, den angegebenen Bedingungen genügenden Functionen u nur positive 

 Worthe amiimnit, oder ob es auch solche Functionen u gibt, für welche dieses 

 Integral den Wertli Null oder negative Werthe annimmt. 



Diese Frage kann, wenn die Function ^J den im Art. 9 angegebenen Be- 

 dingungen genügt, nach dem Ergebnisse der vorstehenden Untersuchung wie 

 folgt beantwortet werden. 



I. Wenn die bei Zugrundelegung der Function p für den betrachteten 

 Bereich sich ergebende Constante c kleiner ist als 1, so nimmt das Dop- 

 pelintegral J{u) für alle Functionen, welche den angegebenen Bedingungen ge- 

 nügen, positive Werthe an. 



IL Wenn diese Constante den Werth 1 besitzt, so nimmt das Doppel- 

 integral J{u) ausser positiven Werthen auch den Werth Null, aber keinen ne- 

 gativen Werth an. 



III. Wenn die Constante c grösser als 1 ist, so nimmt das Doppel- 

 integralJ(M) ausser positiven Werthen und dem Werthe Null auch negative 

 Werthe an. 



Es bezeichne v = v{x,y) ein für alle Stellen (r,//) des Bereiches T ein- 

 deutig erklärtes, den im Art. 9 angegebenen Bedingungen genügendes par- 

 ticuläres Integral der partiellen Differentialgleichung z/v -h p- v = 0. 



