Ueber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 353 



Die Function u kann, weil die partielle Ableitung ^ weder längs der 

 ganzen Begrenzung des Bereiches T', noch längs eines Theiles derselben den 



Werth Null annimmt, stets so gewählt werden, dass das Integral u -^ dl 



einen von Null verschiedenen Werth erhält. '^'' 



Hieraus ergibt sich, dass die Grösse /, (t) + f m) — y / (o + t m) bei pas- 

 sender Wahl der Grösse t und der Function u auch negative Werthe an- 

 nimmt ; der Quotient Vkr^N nimmt demnach auch solche Werthe an, die 



kleiner sind als die Grösse -,; also ist die Grösse — kleiner als die Grösse -r' 



c ' c c 



mithin c grösser als c. 



Hieraus folgt: wenn der Bereich T' ein ïheil des Bereiches T ist, so 

 ist die unter Zugrundelegung der betrachteten Function p für den Bereich T' 

 sich ergebende Constante c kleiner als die unter Zugrundelegung dieser 

 Function für den Bereich T sich ergebende Constante c. 



Es soll nun bewiesen werden, dass bei einer stetigen Verkleinerung des 

 Bereiches T der Werth der Constante c sich ebenfalls stetig ändert. 



Für den Bereich T denke man sich die im Art. 19 erklärte Function 

 m = m{x,y) bestimmt, welche, wenn die Grösse - mit t bezeichnet wird, im 

 angegebenen Sinne der partiellen Differentialgleichung Jn + tp-m = genügt 

 und längs der ganzen Begrenzung des Bereiches T den Werth Null annimmt. 

 Es werde nun, wenn t eine von Null verschiedene positive Grösse bezeichnet, 

 deren Kleinheit keiner Beschränkung unterliegt, derjenige Theil des Bereiches T, 

 für welchen m{a-,y)^t ist, mit T' bezeichnet. Dieselbe Bedeutung, welche 

 die Functionen w„ = w„{x,i/) und die Grössen TV„,c„,c für den Bereich T be- 

 sitzen, möge den Functionen v„ = v,la;y) und den Grössen V„,c'„.c' für den 

 Bereich T' zukommen. 



Für alle dem Bereiche T' angehörenden Stellen {x,y) gilt, da die Function m 

 für keine dieser Stellen den Werth Null annimmt, dem Inhalte des Art. 17 

 zufolge die Gleichung 



n) = f (y,, + vj + v„ f -\- vj' + ■•), 



aus welcher sich durch Integration ergibt 



^Çp mdxdy = e{ F„+ Vj^V,^ f + Vj'+--) = i F, (1 +c\i + c\ c[ e+ c\ c\ c', f+-). 



T' 



Wenn 9B' den Werth des Doppelintegrals auf der linken Seite dieser 

 Gleichung bezeichnet, so ergibt sich, weil jede der Grössen c'„ kleiner als c 



und die Grösse et—" kleiner als 1 ist, 



c ' 



