lieber ein specielles Problem der Variationsrechnung. 355 



a, «,, b, b^ vier reelle oder complexe constante Grössen, welche letzteren der 

 Bedingung unterworfen sind, dass die aus denselben gebildete Grösse aa^ -{- hb^ 

 nicht gleich Null sein darf. Damit jedem Paare conjugirter Werthe der Grös- 

 sen s, s, ein paar conjugirter Werthe der Grössen s , s\ entspreche, sind den 

 Grössen a, ft, ; b, b^ zwei Paare conjugirter Werthe beizulegen. 

 Durch die Gleichungen 



x=4^.-, r= 



SS, +1' i SS, +1 ' SS, +1 



wird ein eindeutiges Entsprechen zwischen den Punkten der x ^/-Ebene und 

 den Punkten der Kugelfläciie X' + F' + Z' = 1 vermittelt. Es entspricht da- 

 her jedem der betrachteten Bereiche T ein gewisser sphärischer Bereich, 

 welcher das sphärische Bild desselben genannt werden kann. 



Durch die angegebenen Substitutionen wird in Folge der Gleichung 



WV2 1 .7V2 I riy — 4dsd*-i _ ids'd s', 



dX +(lï +(U ~ (s^.ny--(^77iri^ 



nur die Lage, nicht die Gestalt dieses sphärischen Bildes verändert. 



Der Gesammtiieit aller gleichzeitigen Substitutionen (s, s'), (s,, s',) ent- 

 spricht unter den bezüglich der Grössen a,a^,b,b^ gestellten Bedingungen die 

 Gesammtheit aller Drehungen der Kugelfläche X°-|- Z^-l- Z'= 1. 



Bei Zugrundelegung der im Vorstehenden bezüglich der Function ^j ge- 

 machten Annahme ist es daher möglich, von der über der ;ï y-Ebene ausge- 

 breiteten RiEMANN'schen Fläche, durch welche der Bereich T geometrisch dar- 

 gestellt wird, zu dem sphärischen Bilde derselben überzugehen und die Ergeb- 

 nisse der im Vorhergehenden angestellten Untersuchungen, insbesondere die 

 aus dem Werthe der Grösse c zu ziehenden Schlussfolgerungen auf das sphä- 

 rische Bild zu übertragen. 



Durch Einführung der Grössen s, s^ als unabhängiger Variablen erhält 

 die partielle Differentialgleichung der Kugelfunctionen n'°° Ranges die Gestalt 



dsds, ^ (l-(-ss,)2 



Hieraus folgt, dass jede der partiellen Differentialgleichungi 



d'util 2f 



dsds^ "^" (l-HSS,)« 







genügende Function eine Kugel function ersten Ranges ist. 



Durch Specialisirung der Function G{s) kann man unendlich viele spe- 



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