358 H. A. Schwarz. 



Die Gesammtheit derjenigen Tangentialebenen des Minimalflächenstückes 

 M, deren Berührungspunivte der Eandlinie dieses Flächenstückes angehören, 

 umhüllt allgemein zu reden eine gewisse abwickelbare geradlinige Fläche, 

 welche mit $ bezeichnet werden möge. Die erzeugenden Geraden dieser 

 Fläche fallen mit den den Tangenten der Eandlinie des Flächenstückes M im 

 DüPiN'schen Sinne conjugirten Tangenten dieses Flächenstückes zusammen. 

 Für jeden Punkt der Eandlinie ist die letztere Tangente, mithin auch die durch 

 diesen Punkt hindurchgehende geradlinige Erzeugende der Fläche $, der 

 Strecke mit den Coordinaten âx, âp, as parallel. 



In Folge der Gleichungen 



Xclx + Ydy + Zd3 = 0, Xddx + Ydàtj + Zdàz = O , Xôx + Yôy + Zâ^ = 0, 



von denen die beiden ersten für alle Stellen (^, rj) des Bereiches T erfüllt 

 sind, während die dritte nur längs der Begrenzung desselben Geltung hat, ist 

 die abwickelbare Fläche <I> eine einhüllende Fläche der betrachteten Schaar 

 von Minimalfiächen. 



Die Gesammtheit aller Punkte der Fläche $, welche den dem Intervalle 

 — s' ^ 6 ^ f' angehörenden Werthen des Parameters t entsprechen, bildet all- 

 gemein zu reden eine endliche Anzahl gürtelförmiger Flächenstreifen F, von 

 welchen jeder aus einer endlichen Anzahl von Stücken analytischer I'lächen 

 besteht. 



Die Gesammtheit der Flächenstreifen F und die den Werthen t = — a, 

 £ = f ' entsprechenden Minimalflächenstücke der betrachteten Schaar bilden zu- 

 sammengenommen die vollständige Begrenzung eines ganz im Endlichen lie- 

 genden Theiles des Eaumes, welcher mit E bezeichnet werden möge. 



In Folge der Gleichung (5.) des Art. 2 gilt folgender Satz: Jedes zu- 

 sammenhängende, aus einer endlichen Anzahl von Stücken analytischer Flächen 

 gebildete Flächenstück F, dessen vollständige Begrenzung mit der Begrenzung 

 des Minimalflächenstückes M zusammenfällt, und dessen innere Punkte sämmt- 

 lich dem Innern des Eaumes R angehören, hat grösseren Flächeninhalt, 

 als das Minima Iflächenstück M. 



Die Geltung des vorstehenden Satzes erstreckt sich nicht ohne Weiteres 

 auch auf solche Flächenstücke, welche zwar aus dem Räume R nicht heraus- 

 treten, jedoch mit den der Begrenzung desselben angehörenden Theilen der 

 Fläche $ Flächenstreifen von endlicher Ausdehnung gemeinsam haben. 



Es kann nämlich der Fall eintreten, dass für ein den Bedingungen des 

 Grenzfalles genügendes Minimalflächenstück M der reelle Theil der comple.xen 



Grösse -cÀ^ i-^) längs der ganzen Begrenzung des Bereiches T dasselbe Vor- 



