Ueher ein specielles Problem der Variationsrechnung. 359 



zeichen besitzt. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so liegen alle Theile der 

 Fläche $, aus denen die Flächenstreifen F bestehen, auf derselben Seite 

 des Minimalflächenstückes M und es gibt unendlich viele aus dem Räume R 

 nicht heraustretende, im Uebrigen den gestellten Bedingungen genügende 

 Flächenstücke F*, deren Flächeninhalt mit dem Flächeninhalte des Minimal- 

 flächenstückes M der Grösse nach übereinstimmt. 



Jedes dieser Flächenstücke F* besteht aus einem Minimalflächenstücke M* 

 der betrachteten Schaar und einer endlichen Anzahl gürtelförmiger Flächen- 

 streifen F*, welche Theile der Begrenzungsfläche des Raumes R sind, und 

 durch welche die Begrenzungslinie des Minimalflächenstückes M* mit der Be- 

 grenzungslinie des Minimalflächenstückes M in Verbindung gebracht wird. 

 Hierbei hat der zu dem Minimalflächenstücke M* gehörende Werth e* des 

 Parameters t dasselbe Vorzeichen, wie der reelle Theil der complexen Grösse 



7=-(^{~£-) längs der Begrenzung des Bereiches T. 



Da die mittlere Krümmung der die Flächenstreifen F* bildenden Flächen- 

 stücke einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist es möglich, durch 

 solche Variationen dieser Flächenstücke, welche die Begrenzung derselben un- 

 verändert lassen, den Flächeninhalt derselben zu verkleinern. In dem be- 

 trachteten Falle gibt es also unendlich viele, zusammenhängende, dem Minimal- 

 flächenstücke M unendlich benachbarte, von derselben Randlinie begrenzte 

 Flächenstücke, welche kleineren Flächeninhalt besitzen als das Minimal- 

 flächenstück M. 



Die beste Veranschaulichung der vorstehenden Betrachtungen gewährt der 

 von Herrn Lindelöf in seinem Lehrbuche der Variationsrechnung *) behan- 

 delte und durch Figuren erläuterte specielle Fall eines von zwei Parallelkreiseu 

 begrenzten zweifach zusammenhängenden Theiles eines Catenoids. 



Dieser mit den Hülfsmitteln der Variationsrechnung zuerst von Herrn 

 Lindelöf untersuchte classische specielle Fall entspricht, wenn mit C eine 

 reelle Constante bezeichnet wird, den Annahmen 



%is) = ^, G{s) = s{logs+G). 



Der Bereich T ist in diesem Falle ein zweifach zusammenhängendes von 

 zwei concentrischen Kreisen begrenztes Ringgebiet; die Fläche $ wird von 



*) Leçons de calcul des variatious, par L. Lindelöf, Paris 1861, p. 204—214. Vergl. auch die 

 Abhandlung: Sur les limites entre lesquelles le caténoide est une surface minima. Par L. Lindelöf. 

 Acta Societatis Scientiarum Fennicae, tomus IX., Helsingfors 1871. (Mathematische Annaleu, Band II, 

 Seite 160.) 



