Bestimmung der Richtungscosinus einer Geraden etc. 496 



Die Gleichung 5) gibt mit Anwendung dieser Bezeichnungen 



g-, ~ _ c cos a + c cos ß + }/R 



sin y 

 WO 



R - c 2 cos 2 a -f- c' 2 cos 2 ß-\-2c c cos acosß — cos 2 «(l — r 2 ) — cos 2 ß(l — b 2 ) 

 + 2 cos « cös ß (mq + ft>) + v 2 sin 2 y ■ 



Dieser Ausdruck lässt sich wesentlich vereinfachen. Schreibt mau 



R = L — M cos 2 cc — Neos 2 ß + 2 P cos a cos ß , 

 so findet man 



L = v 2 sin 2 y , 

 und 



M = 1 - >- 2 — c 2 = 1 - r 2 - c 2 A 2 - ^ 2 ^ + 2 p^ = 



1 — A 2 + A V + A 2 r 2 — n 2 + fi 2 rf + ^.2 ,.2 + 2 M ^ _ r 2 = V 2 (i _ r 2) + ^ + ?jU)2 _ 



= _ V Z (1 _ ,-2) _|_ ,2 „! = V !, 



In derselben Weise ergibt sich 



N = v 2 . 

 Schliesslich findet man 



P=lp-\- mq + cc = lp + mq + Iqlp — Ip(i 2 — mq/. 2 -\- mpX/i = 



= v 2 (Ija + mq) + (1k -\- mp) {pl + q/i) = v 2 (lp -f mq +'nr) — v 2 cos y . 



Folglich ist 



R = v 2 (l — cos 2 cc — cos 2 ß — cos 2 y + 2 cos a cos ß cos y\ • 



Setzt man diesen Werth in die Gleichung 8) ein und schreibt die beiden ana- 

 logen für X und Y hinzu, so erhält man das System 



X = 



_ a cos cc + a cos ß + ■ X Vi — cos 2 « — cos 2 ß — cos 2 y + 2 cos cc cos ß cos y 



9) Y 

 Z 



sin y 



welches die Lösung der gestellten Aufgabe enthält. In diesen drei Gleichun- 

 gen ist der Quadratwurzel derselbe Werth beizulegen. Die beiden verschie- 



