356 Hj. Mellin. 



Afven om man i dessa satser tager ordet funktion i dess allmännaste be- 

 tydelse, så äro dock de egenskaper, som tilläggas funktionerna, tillräckliga att 

 fullständigt karakterisera desamma. Man finner à posteriori att egenskaperna 

 kunna tillkomma endast analytiska funktioner. 



Genom likheten 



1 1 



r( a! ) = y i (-i)"I.-J_+ö(*) 



n x + n 



är gammafunktionen framstäld såsom en summa af en partialbråksserie och en 

 beständigt konvergerande potensserie, d. v. s. under den form som angifves i 

 den Mittag-Lefflerska satsen. — Är v ett positivt helt tal, så är 



en funktion af rationel karakter, hvilken icke har andra oändlighetsställen än 



x = 0, -1, -2, ."..., 



i hvilka funktionen blir oändligt stor af ordniugen v. I stöd af den Mittag- 

 Lefflerska satsen äro vi derför berättigade att sätta 



QO An) An) An) 



a) r»(x)=2 (— ^ + . v :;_ r + ■ ■ •+ -±- +9„m ) + qå*) 



^i \ (x + n) v (x + n) v ' x + n I 



der Q v (x) är en beständigt konvergerande potensserie samt g v> „ (x) , g V} i (x), . . . 

 hela rationela funktioner, hvilka samtliga få sättas lika med noll, om den serie 

 som sålunda erhålles är likformigt konvergent. 



Den Mittag-Lefflerska satsen jemte de Prymska satserna om första po- 

 tensen af gammafunktionen gifva nu lätt anledning till frågan: gälla med de 

 Prymska satserna analoga satser allmänt om hvarje potens af gammafunktionen, 

 hvars exponent är ett positivt helt tal? Besitta, med andra ord sagdt, partial- 

 bråksserien P v (x) och den additiva potensserien Q v (x) , vid ett passligt val af 

 funktionerna g v , (x) , g v , t (x) , . . . , karakteristiska egenskaper, hvilka kunna 

 uttryckas genom likheter, sådana att desamma öfvergå uti de karakteristiska 

 likheterna för resp. P (x) och Q (x) då man antager att v = 1 ? 



För att erhålla ett svar på denna fråga måste man på något sätt bestämma 

 konstanterna 



An) An) An) 



■ft v , ■ä- v _ 1 , . . ., -&1 

 n = 0, 1, 2, ... . 



Det ligger väl närmast till hands att härvid söka använda samma förfarande, 

 hvarigenom man erhåller likheten 



r{x) = P(x)+Q(x). 



