Om vu inj klans af transcendenta funktioner. 3b7 



Bestämningen af konstanterna A£ gör inga svårigheter, ty likheten (1) ut- 

 visar att 



J» = lim (x + ny V (x) = lim (« + »)'**(« + ») _ = / 1} - / 1 \' 



•=-• » = -x v (x+iy...(x + n-l) v K ' \\n) 



Härefter kunde A^'_ x beräknas med tillhjelp af likheten 



i(») 



och derefter -4„_ 2 , o. s. v. — Uti en uppsats med titeln Om gammafunk- 

 tionen i öfversigten af Svenska Vetenskaps Akademiens Förhandlingar 1883, 

 N:o 5, har jag pä detta sätt verkstält beräkningen af konstanterna 



4 M a <"' a <"> 

 » = 0, 1, 2, . . . 



Beräkningen af konstanterna A ( ^_ i var dock redan så vidlyftig, att den icke 

 uppmuntrade till att på denna väg söka finna en bildningslag för samtliga kon- 

 stanter A. Då emellertid konstanterna A^' , Aj_ t erhöllo värdena 



^r=(-ir(^^ 1 =(-ir(^^(^i) ) 



der W(x) betecknar den logaritmiska derivatan till r(x), så kau man, för 

 v = 2 , sätta 



(x)=y(-) ! — es + 2 — ^- — + & (x) 



= P. (*)+&(*)■ 



Genom en enkel räkning kan man öfvertyga sig om, att P 2 (#) besitter egen- 

 skapen 



P 2 (a; + 1) = ic 2 P 2 («) - P 2 (a;) , 



der E 2 (x) är en viss hel rationel funktion af första graden. Följaktligen be- 

 sitter Q % (x) egenskapen 



Q 2 {x + \) = x v Q,{x) + R % {x). 



Dessa resultat synas nu verkligen häntyda derpå, att satser, analoga med de 

 Prymska, gälla om alla hela och positiva potenser af gammaf Miktionen. Sär- 

 skildt ser det ut som om partialbråksserien P v (x) skulle besitta egenskapen 



P,(* + l) = afP»-JV(«). 



ni 



