358 IlJ. Mkllin. 



ocli följaktligen Q v (x) egenskapen 



Q v (x+l) = x v Q v (x) + B v (x), 



der B v .(x) är en hel rationel funktion, måhända af graden v — 1. 



Det är mest rationelt att tills vidare afstå ifrån hemödandet att finna en 

 bildningslag för konstanterna A, och i stället först söka ett svar pä frågan: 

 är det för hvarje positivt helt tal v öfverhufvud möjligt att uti en partialbråks- 

 serie af formen 



bestämma konstanterna A samt de hela rationela funktionerna g på ett sådant 

 sätt, att S(x) blir en likformigt konvergerande serie, hvilken besitter egen- 

 skapen 



S(x+l) = x v S(x)-B(x), 



der B{x) är en hel och rationel funktion? Ty är en gång denna fråga be- 

 svarad, vare sig jakande eller nekande, så är svaret i hvarje fall upplysande 

 för den fråga som egentligen sysselsätter oss. 



Tills vidare är det icke skäl att pålägga B (x) uti föregående likhet någon 

 annan fordran än den, att B (x) bör vara en funktion af hel karakter. Frågan 

 är då denna, kunna konstanterna A samt de hela rationela funktionerna g be- 

 stämmas på ett sådant sätt, att S (x) blir en likformigt konvergerande serie 

 samt differensen 



8(x+l)-x v S (x) 



en funktion af hel karakter? 



Under förutsättning att S (x) konvergerar likformigt är denna differens en 

 funktion af hel karakter alltid och endast ifall densamma för omgifningen af 

 hvart och ett af ställena x~Q, — 1, —2, .... kan utvecklas i en konverge- 

 rande potensserie, som fortskrider efter hela och positiva potenser af resp. 

 x x+1, x + 2, . . . . För omgifningen af stället x = O är detta tydligen fallet. 

 För omgifningen af stället x = — n är 



S(x + l) = -^ v + r ^— + ... + -±-- + (ï(x + n), 

 (x + n) (x + n) l x + n 



A (,,) A ( '° A lH) 



S(x) = — v — - + ^ 1 — + • • • + --- + G, {x + n), 



(x + nf (x + n)"- 1 x + n 



