Om en ny Mass af transcendenta funktioner. 359 



der G och G l äro potensserier, som fortskrida efter hela och positiva potenser 

 af x + n. De nödvändiga vilkoren för, att den i fråga varande differensen 

 skall vara en funktion af hel karakter, äro således, att hvar och en af dif- 

 ferenserna 



(x + n) v (x + «)" - ' a; + » \ (a; + n)" (x + w)" ~ ' a; + n / 



n=l, 2, 3, . . . . 



skall kunna utvecklas efter hela och positiva potenser af resp. x+1, x+2, 

 x+3,..., eller att koefficienterna för samtliga negativa potenser som upp- 

 träda, då man verkställer utvecklingen, böra vara noll. Använder man nu 

 likheten 



x v = (- 1)" (n v - (?) n v - » (x + n) + ■ ■ ■ + (- l) s (?) n v ~> (x + nf + ■■■ + 



(_iy (*+»)') 



och verkställer utvecklingen samt sätter koefficienterna för de negativa poten- 

 serna af x + n lika med noll, så erhåller man likheterna 



(-i)"4 B - 1 W4T ) 



(- 1)" ä { ;- 1) = - (o *?-* a™ + n v 4^ 



(- 1)" K:? = (t) n»-«~ A? - Ç) «r- 1 ^., + * 4-, 



(2) . (- if 4"-" = (- i) s C) »— iT + (- 1)- ' G-0 w "~* +1 <-i+ 

 (- i)— '(. '.) w- s+î 4,-. + • • • + nV -C 



(- ir 4*- 1 ' = (- 1/- 1 (,:,) R 4 S) + (- *r 2 (,-J » 2 -C + 

 (-ir- 3 c:> 8 4_ a + +»'4 W - 



n= 1, 2, 3, . . . 



Under förutsättning, att S (x) är en likformigt konvergerande serie, uttrycka 

 dessa likheter icke blott de nödvändiga utan också de tillräckliga vilkoren för 

 att differensen 



S (x + 1) - r" S (.t) 



skall vara en funktion af bel karakter. 



