360 Hj. Mellin. 



Genom föregående rekursions formler är en hvar af konstanterna A en- 

 tydigt bestämd så snart konstanterna 



aW A (0) a (0) 



A v , A vl , . . . A 1 



uti första termen blifvit faststälda. 



Betänker man nu att man alltid, huru också dessa konstanter må fast- 

 ställas, sedan åt de öfriga tilldelats de entydigt bestämda värden som erhållas 

 ur likheterna (2), derefter på mångfaldiga sätt kan framställa en sådan följd 

 af hela rationela funktioner 



0r,o(*)» ^.W' 9*,t( x )i 

 att serien S (x) blir en likformigt konvergerande serie, så inser man att det 

 existerar till och med ett oändligt antal funktioner af den allmänna formen 

 S (x) , hvilka besitta den egenskap hvarom fråga varit. 



Betraktar man närmare rekursionsformlerna (2), så finner man att allmänt 



kan uttryckas såsom en homogen och lineär funktion af 



A (0) A (0) A (0) 



i hvilken koefficienterna äro rationela tal, som endast bero af de hela talen 



n, v, s: 



J?_= (n, v, s\ A { : + (n, v, s\ .C, + • • • + K ,, S ) s A«.. ■ 



Om man således åt samtliga konstanter i första termen af S (x) tilldelar värdet 

 noll, så blir S (x) identiskt lika med noll och upphör då att vara en verklig 



partialb råksserie. Ar 



A m /<< 0) A w 



ett godtyckligt annat värdesystem, deri samtliga storheter icke äro lika med 

 noll, så kan det icke uti någon term af S (x) inträffa, att alla konstanterna 

 vore lika med noll. Ty låt oss antaga, att n är ordningstalet för den första 

 term hvari detta kunde vara fallet. Rekursionsformlerna (2) utvisa då, att 

 också samtliga konstanter uti alla följande termer af S (x) måste vara noll. 

 Då nu således S (x) skulle vara en serie med ett ändligt antal termer, så 

 vore x — — u ett oändlighetsställe för differensen 



8(x+l)-x v 8(x), 

 hvilken derför icke kunde vara en funktion af hel karakter. Härmed är rik- 

 tigheten af vårt påstående bevisadt. 



