Om en ny klass af transcendenta funktioner. 361 



Vore serien 



likformigt konvergerande, så kunde man sätta 



8 w = I ( A-y + nh^ + • • ■ + 4- ) + ö w ' 



~ (x + »)* (a; + ny x + n/ 



der (7 (x) vore en funktion af hel karakter. Omvändt skulle hvarje funktion 

 af denna form besitta egenskapen 



S (x + 1) = x" 8{x)~R (x) , 



der B (x) också betecknar en funktion af bel karakter. Det är således af ett 

 särskildt intresse att undersöka, huruvida icke serien (3) är likformigt kon- 

 vergent, huru också konstanterna 



,(0) .(0) WO) 



A v ' ^v-i- ■ ■ ■) A i 



må fixeras, om blott de öfriga beräknas enligt rekursionsformlerna (2). 



Låt oss fastställa ett positivt helt tal m så stort, att livar och en af 

 qvantiteterna 



o>-\ . . ., (>-\ . . ., (,:>-<"-» 



är <! 1 så snart n ^ m. Detta inträffar om vi sätta m ^ i\ Rekursionsform- 

 lerna (2) utvisa då att 



J 





v 



» 



(»-1) 





II 



A v-i\^\ A , \+\ A V -i\+- — — 



•A,-J = l^» i + \ A v-i 1 + ! ^- ä ! + • • • + 1 Av-« + i 1 + - -^r~ 



A\ A], dl 



j\« — it 



(<0 <,- ,<«) . i(n) , a (.«) i i /( (») . ! ^, 





46 



