Om en, ny Mass af transcendenta funktioner. 363 



I det följande använda vi beteckningen 



A? AT , a ( :" 



s(*)=J À (-^—+ v - x + 



och bortlemna ifrån våra undersökningar alla andra funktioner, hvilka också 

 besitta egenskapen 



S (x + 1) = z v 8(x)-B (x) . 



Det gäller nu först och främst att öfvertyga sig derom, att B (,r) är en hel 

 rationel funktion, hvars gradtal icke öfverskjuter talet v— 1. 

 Sätter man uti serien 



B(x)=A ( ; ) + A: ) _ 1 x+...+A« ) x"-> 



A { ;' A? \ ( A ( ;- u Af-»> - 



> \x v { l ■+■■■ + i— — — '- +•••+ ' 





a; 



■)" a; + ra ' \(x + ra)" x + n 



= (- 1)" f »* +••• + (- i) s o n v -° {x + ny + ...+(- 1)" (x + «y 



och föreställer sig, att inan under summationstecknet utvecklar första delen af 

 den term, hvars ordningstal är ra, efter potenser af x + n, så finner man att 

 den högsta positiva potens af x'+n, hvilken öfverhufvud kan uppträda, er- 



A w 

 hålles genom att multiplicera (x + n) v med — - — . Emedan de negativa po- 



x + ra 



tenserna upphäfvas af de negativa i den andra delen af termen, så antager 

 denna utseendet 



Cf +(*»(» + «)•+. . ■+C™ 1 (x + n) v -\ 



Utvecklas detta uttryck efter hela och positiva potenser af x , så antager B (x) 

 utseendet 



Emedan denna serie är likformigt konvergent, så får man ordna densamma 

 efter potenser af x och erhåller derigenom ett resultat af formen 



B (x) = « + «j x + • • • + «v-i x, v ~ ' , 



der a., a. . . ., a äro af x oberoende storheter. 



7 1 ' ' V — 1 



Resultatet af de föregående betraktelserna sammanfatta vi nu i följande 

 satser. 



