364 II J. M ELL IN. 



Om man uti en partialbråksserie af formen 



00 i («) A («) . (n) 



g(»)=S(^-+ p - x + ■ • • +^- 



fastställer godtyckliga värden på konstanterna i första termen, men deremot åt 

 de öfriga tilldelar de entydigt bestämda värden, som erhållas ur rekursions- 

 formlerna (2), så har man städse uti S (x) en likformigt och absolut konver- 

 gerande serie, hvilken besitter egenskapen 



(4) 8 (x + 1) = x v S(x)-B(x), 



der B, (x) är en hel rationel funktion, livar s gradtal möjligen kan understiga 

 men aldrig öfverstiga talet v — 1 och hvilken är entydigt bestämd i och med 

 detsamma som konstanterna i första termen äro faststälda. 



Bekursions for -mierna (2) uttrycka emellertid icke blott de tillräckliga utan 

 också de nödvändiga vilkoren för att serien skall satisfera en likhet af ofvan 

 stående form. 



Det existerar således öfvcrhufvudtaget icke någon partialbråksserie af for- 

 men 8 (%), hvilken skulle satis fier a den i fråga varande likheten, då B (x) be- 

 tyder en hel transcendent eller en hel rationel funktion, hvars gradtal öfver- 

 skjuter talet v — 1. 



När i det följande fråga är om en serie af formen S (x), så förstås med 

 detta uttryck tillika, att konstanterna uti serien äro underkastade vilkoren (2), 

 dä endast de v första forblifva arbiträra. 



Uti denna serie ha vi det allmänna analytiska uttrycket för ett oändligt 

 antal funktioner, hvilka i teoretiskt afseende sammanhållas till ett helt af en 

 sats, som är anmärkningsvärd på grund af den frapperande likhet, hvilken den 

 har med en fundamental sats inom teorin för de lineära differentialeqvationerna. 

 Hvar och en af de funktioner, som kunna återgifvas genom en serie af formen 

 8 (x), besitter utom egenskapen (4) uppenbarligen också egenskapen 



lim 8 (x + m) = O . 



in = 00 



Kan också omvändt hvarje funktion med dessa egenskaper återgifvas genom 

 en serie af formen S (x), eller med andra ord, omfattar serien S (x) alla tänk- 

 bara funktioner med dessa egenskaper? Då vi göra denna fråga, så få vi na- 

 turligtvis icke antaga, att gradtalet för B (x) är större än v— 1. Jemte denna 

 fråga återstår det ännu att också besvara en annan. Vi kunna visserligen 

 framställa ett oändligt antal serier af formen S(x), af hvilka livar och en sa- 



