Om en ny Mana af transcendenta funktioner. 365 



tisfierar sin särskilda likhet af formen (4), der B (x) är entydigt bestämd så 

 snart S (x) är bildad. Men kan man omvändt först godtyckligt fastställa en 

 hel rationel funktion B(x), hvars gradtal högst är v — 1, och derefter bilda 

 en serie af formen S Çr), hvilken satisfierar likheten (4)? 



Svaren på dessa frågor innehållas i efterföljande satser, i hvilka F (x) 

 till att börja med betecknar en funktion i detta ords allmännaste betydelse. Vi 

 anse, att vi om denna funktion à priori icke en gång veta att den är konti- 

 nuerlig, utan endast att hvar och en af symbolerna F(x+1), F(x + 2), 

 F(x + 3), . . . har en bestämd betydelse så snart detta är fallet med F(x), 

 samt att funktionen för öfrigt satisfierar de likheter, som uti satserna an- 

 gifvas. — Emedan 



r(x + m) 

 ' m i Î — i = * i ^ m F(x + m) = oo 



m=oo \ m 1 m »1 = 00 



för hvarje värde på x, så är, också för h varje värde pä x, 



1 



lim = O . 



m=ao \m — 1 m x 



Bm »k+üL = o 



Egenskapen 



=« ( \m - 1 m x y 



tillkommer således åtminstone hvarje funktion, hvilken besitter egenskapen 



lim S (x + m) = O . 



»1 = 00 



Hvarje hel rationel funktion R (x) , hvars gradtal icke bfver skjuter talet 

 v — 1 , motsvaras af en och blott af en enda funktion F (x) , hvilken besitter 

 de båda egenskaperna 



(5) Um (^rr^Y = ^ F(x+l) = ^F(x)-B(x), 



M = 00 ^ I '" l " l 1 



och denna funktion är nödvändigt en analytisk funktion. 

 Låt 



S/O), 8 t (x) t . . ., S v (x) 



vara v serier, af hvilka hvar och en är af formen S (x), samt 



