366 



Hj. Mellin. 



| (0) j (0) 



4 (0) • .a» 



^21 ' ^a ! 



j(0) 



< (0) i (0) 



4 (0) 



de till de res}), första termerna uti dessa serier hörande konstanterna. Äro 

 serierna S (x), S t (x), . . ., S v {x) så valda att determinanten 



i(») 



(6) 



z/ 



4« ^22 



. A 



. A 



l(0) ^(0) 



A vi A vz 



. . . A 



(0) 



icfce är noll, så kan hvarje funktion med de tvenne egenskaperna 



F(x + ni) 



lim 



,, v , L = 0, F(x + l) = x v F(x)-R(x), 



(\m— 1 m) 



der B, (x) är en hel rationel funktion livars gradtal högst är v — 1 , alltid och 

 blott på ett sätt uttryckas såsom en homogen och lineär funktion af S x (x), 

 S (x), . . ., S v (x)i d. v. s. man kan alltid och blott på ett sätt bestämma 

 konstanterna p v p % , . . ., p v så att likheten 



F (x) = Pl S 1 (x) + p % 8 2 (x) + . . . + p v S v (x) 



eger rum för alla värden på x 1 hvaraf sedan lätt följer att F (x) kan åter- 

 gifvas genom en enda serie af formen S (x). 



Beviset för riktigheten af den förra af dessa satser sker på följande sätt. 

 Genom att upprepade gånger använda likheten 



F(z + Ï) = af F(x)-B(z) 



erhåll es 



F(x)- 

 Emedan 



lim 



F (x + to) 



x v {x + iy . . . (x + m-iy 



li(x) R (x + 1) 



ii ' ii / - \ii ' 



x 



€ (x + \y 



+ 



JR(x + m — 1) 



F (x + m) 

 .=oo ("|to — 1 m x y 



= , Um 



X V (X+ 1)" . . . (iC + TO-1) 1 



Ito — 1 m x 



= r(x) 



= cc x (x + 1) . . . (x + m — 1) 



