Om en )ifi Mass af transcendenta funktioner. 367 



sa ar 



F(x + m) F(x + m) / Im — Im* 

 hm = lim — • == = . 



=» tf ( x + iy...( x + m - 1)" — - ( m - 1 m*)* \ x (x + 1) . . .(x + m- 1) 



och följaktligen 



R {x + n) 



(7) 





Om således öfverlmfvud en 'funktion existerar med de i fråga varande egen- 

 skaperna, så måste funktionen kunna återgifvas genom denna serie. Härmed 

 är dock icke ännu sagdt, att högra membrum verkligen besitter de båda an- 

 tagna egenskaperna bos venstra membrum. Låt oss, för att emellertid ådaga- 

 lägga detta, tänka oss, att F ' (x) är definierad genom ofvan stående likhet. 

 Man finner då först och främst, att F(x) är en absolut orb likformigt kon- 

 vergerande serie, hvilken åtminstone besitter egenskapen 



F(x+l) = x v F(x)-B(%). 



Emedan vidare termerna uti F(x) äro rationela funktioner, uti hvilka tälja- 

 rena äro af lägre gradtal än de motsvariga nämnarena, så har F (x) med ter- 

 merna egenskapen 



lim F {x + »») = 



m = ao 



gemensam, och h fartiori besitter F(x) egenskapen 



F (x + m) 



um — — -—- = O, 



( \rn-J. m')* 



Härmed är vår första sats bevisad. Vi ha tillika för F (x) erhållit ett ana- 

 lytiskt uttryck, som utvisar att F (x) är en monogen funktion. 



Vi öfvergå nu till beviset för sanningen af den senare satsen. Låt 



S (x + 1) = x v S (x) - R l (x) 

 ;.= 1, 2, 3, . . ., v 



vara de v likheter, som satisfieras af de resp. serierna 



S^x), 8 t (x), . . .,S v (x), 



och låt oss sätta 



B X {*) = a h + «As X + • • • + «A • 



'Xv 



