Om en ny klass af transcendenta funktioner. 369 



och följaktligen vore 



x v (x + iy...(x + m-iy nh 



huru stort ock det positiva hela talet m må vara, hvilket, alldenstund 



lim f (x + m) = , 



icke kan ega rum med mindre än att f(x) är identiskt lika med noll. Följ- 

 aktligen skulle det nyss fixerade värdesystemet 1\, p„, ■ ■ ■■ p v också satis- 

 fiera det homogena och lineära likhetssystemet 



<° ) = ^P 1 +^P> + ---+<K = 0, 



hvilket är omöjligt, emedan dess déterminant I enligt antagandet icke är = 0. 

 Således var icke 6 — 0. 



Om à icke är =0, sä kan icke heller J vara =0. Vore J = 0, så 

 kunde man satisfiera det homogena och lineära likhetssystemet 



A™ = 0, ^ (0, = 0, . . ., 4 0, = 



genom ett värdesystem p 1} p t , . . ., p v , deri samtliga p icke vore lika med 

 noll. Emedan f(x) är en serie af formen S(x), så vore f(x) till följd af 

 rekursionsformlerna (2) identiskt lika med noll, och följaktligen också 



r(x) = x v f( a >)-f(x+l) 



identiskt lika med noll. Det nyss fixerade värdesystemet p t p % , ■ ■ -,p v skulle 

 således också satisfiera det homogena och lineära likhetssystemet 



« 1 = 0, a t = 0, . . ., a v = 0, 



hvilket dock är omöjligt emedan dess déterminant ô enligt antagandet icke är 

 = 0. Således var icke A = 0. 

 Låt nu 



B (x) = «, + «, x + ■ ■ ■ + a v x v ~ 1 



vara en godtycklig hel rationel funktion, hvars gradtal icke öfverskjuter talet 

 v — 1 , samt F (x) den funktion som fullständigt karakteriseras genom de sam- 



47 



