370 Hj. Mellin. 



tidiga likheterna (5). Låt vidare 



S», 8 2 (x), . . ., 8 v (x) 



vara ett system af v serier af formen 8(x), för hvilket determinanten A icke 

 är = O , och bilda 



fix) = Pl S 1 (x) + p % S 2 (x) + ■■■ -\-p v 8 V (x) . 



Emedan A icke är noll, så är icke heller determinanten 6 till det lineära lik- 

 hetssvstemet 



a a = «i> "»=".» 



■s ™» 



«.. = K., 



lika med noll. Det finnes således ett och blott ett enda värdesystem 



P t , V*, ■ ■ •» Pvl 



för hvilket detta system af likheter eger rum, för hvilket, med andra ord 

 sagdt, rix) och R{x) äro identiskt lika. Emedan f(x) också besitter den 

 första egenskapen hos F(x), så äro dessa funktioner sjelfva, på grund af vår 

 redan bevisade sats, identiskt lika. Emedan en och samma funktion tydligen 

 icke kan satisfiera tvenne skilda likhetssystem af formen (5), så är härmed 

 också vår senare sats bevisad. 



Vi uppställa här ännu följande satser, hvilkas riktighet utan svårighet 

 kan inses på grund af den föregående framställningen. 



Om determinanten A till systemet 



fil», S 2 (x), . . ., 8 v (x) 



är noll, så består emellan dessa funktioner en homogen och lineär likhet af 

 formen 



ï> l S l ix)+p. l S % {x) + --.+p v 8 v {x) = 0, 



der samtliga p icke äro noll, hvaremot en sådan likhet icke kan ega rum, om 

 A icke är lika med noll. 



Emellan v + 1 serier af formen 8 (x) hestår alltid en homogen och lineär 

 likhet. 



Låt nu B (x) betyda en allmän hel rationel funktion, hvars gradtal icke 

 är större än v — 1 , och låt oss med en partikulär integral till systemet af 

 funktionaleqvationerna 



(9) Um 7^™-^L = , S(x+l) = x v S (x) - B (x) 



v ' „, = ao (m- 1 m x ) v v ' 



