Om en ny Mass af transcendenta funktioner. 371 



förstå hvarje funktion, hvilken öfverhufvud förmår satisfiera ett sådant system 

 af likheter som detta. Vi kunna då uttala följande sats, hvilken så godt som 

 ordagrant påminner om en motsvarig sats inom teorin för de lineära differen- 

 tialeqvationerna. 

 Om 



(10) S», S», . . ., 8 v (x) 



utgöra ett sådant system af partikulära integraler till systemet af funktional- 

 eqvationerna (9), att dess déterminant J icke är lika med noll, så kan hvarje 

 integral till det sist nämnda systemet uttryckas såsom en homogen och lineär 

 funktion af S (x), S i (x), . . ., S v (x), d. v. s. under formen 



(11) S (x) = Pt 8, (x) + Pi 8 t (•) + -. ■ + Pv S v («). 



Emedan uttrycket (11), genom en lämplig bestämning af konstanterna 

 2V P z > ■ • ■) IKi k an ^' IS att blifva identiskt med hvilken som helst af de 

 funktioner, som satisfiera livar sitt speciela likhetssystem af formen (9), så 

 benämna vi detta uttryck den allmänna integralen till systemet af funktional- 

 eqvationerna (9). Uti den allmänna integralen äro de partikulära integralerna 

 (10) så till vida arbiträra, att de blott böra uppfylla vilkoret | A \ > 0. Om 

 vi vidare med ett fundamentalsystem af partikulära integraler förstå hvarje 

 system (10), genom hvars elementer hvarje integral till systemet (9) kan ut- 

 tryckas såsom en homogen och lineär funktion, så kunna vi ytterligare uttala 

 följande satser. 



De partikulära integralerna 



0», S», ■ • -, S v (x) 



till systemet af funktionaleqvationerna (9) utgöra ett fundamentalsystem alltid 

 och endast ifall en likhet af formen 



lh S 1 (x) +p % flf, (*)+•■ ■ +p v S v (x) = O 



dem emellan icke kau bestå med mindre än att samtliga p äro = 0. 



Emellan v + 1 partikulära integraler till systemet (9) består dercmot alltid 

 en lineär och homogen cqvatiou. 



Det vore nu lätt att med ledning af de resultat, som i det .föregående 

 erhållits, också fullständigt integrera det system af funktionaleqvationer som 

 uppstår om man i (9) låter B (x) betyda en hel rationel funktion, hvilken som 

 helst. Emellertid skola vi icke för närvarande uppehålla oss härvid, utan i 



