372 Hj. Mel lin. 



stället nu uppvisa, att partialbråksserien för F 1 " (x) verkligen är en partikulär 

 integral till systemet af funktionaleqvationerna (9), der B (x) har samma be- 

 tydelse som förut. Sedan nu .de vilkor äro kända, hvilka satisfieras af kon- 

 stanterna i en serie af formen S (%), så vore det kanske icke omöjligt att 

 inrätta de kalkyler, som företagits uti den redan citerade uppsatsen i Svenska 

 Vet. Akademiens öfversigt, pä ett sådant sätt, att derigenom skulle framgå, 

 hurusom konstanterna uti den i fråga varande partialbråksserien verkligen sa- 

 tisfiera rekursionsformlerna (2). Det finnes emellertid en utväg, som i hvarje 

 fall vida snabbare än den nyss tänkta för till målet, och hvilken består deri, 

 att vi, stödande oss på den allmänna integralteorin, bringa konstanterna under 

 formen af definita integraler och sedan diskutera dessa integraluttryck. 

 I stöd af den Mittag-Lefflerska. satsen kunna vi sätta 



oo 00 00 (/<) 



r >)=2(r!S + ---^-T^ + - ' • + J t- + **,M) + M*)> 



jJTo \ (x + n) (x + n) s x + n 1 



der de hela rationela funktionerna g samtliga få sättas lika med noll, om den 

 serie som sålunda erhålles är likformigt konvergent. Följaktligen är 



(») w (»o 



F v (x) = ~J^— +■■ ■+ n -° - + • • • + -^- + G (x + n) , 



(x 4- n) v (x + nf s x + n 



der G (x -f n) är en potensserie, som fortskrider efter hela och positiva po- 

 tenser af x + n och konvergerar så snart |a; + w|<l. Multipliceras denna 

 likhet med (x ■f»)' -s_1 och utvecklas sedan de särskilda funktionerna efter 

 potenser ai x — a, der — n<a< — n+1, samt integreras dessa potensserier, 

 så definieras genom alla andra element i högra membrum, utom genom det af 



,'"" f- 



v- s .t . 



Jx_ 



v - s J x + n' 



funktioner, hvilka äro entydiga inom området 



0<\x + n\<l . 



Betecknas radien i den cirkel, hvars medelpunkt är — n och hvars periferi 

 går genom punkten a, med q, och räknas integralerna i positiv riktning ett 

 hvarf längs denna cirkel, så erhålles följaktligen 



f F v (.r) (x + n) v -° ~'dx= r f_ s 2jt-/ . 

 (e) 



