374 Hj. Mellin. 



(- 1) n = n y v 



(- 1) 5V_i =-(i) w Yv +n Yv-, 



f 1\V I" - !) /1A „„V — 3 (") fV\„,V — 1 (») . „» 00 



(- 1) 3V- 2 = W W Y v -(0» JV-i + n 7,_ 



(13) 



(- 1)" jC' = (- !) s © »— rf° + (- O 5 " ' G-0 »-' + I jvi, + 



(- 1)" ^r _1) = (- I)"" 1 (v-ù « YT + (- I)"" 2 (Zu n* ??-, + 



(-i)— c:.K7". + +»vr- 



w=l, 2, 3, . . . . ». 



Häraf synes, att konstanterna y uti partialbråksserien för 1 1 (x) satisfiera re- 

 kursionsfornilerna (2). Följaktligen är 



ru) p( x )=y r * + y »-» +...-)-Jj_) 



en likformigt och absolut konvergerande serie samt en partikulär integral till 

 systemet af funktionaleqvationerna (9). Vi kunna således sätta 



(15) r v (x) = P v (x) + Q v (x) , 

 der Q v (x) är en beständigt konvergerande potensserie : 



(16) Q v (x) = c" + cp x + cf> x + . . . . 

 Emedan P v (x) besitter egenskapen 



(17) P v {x + l) = x*P v (x)-M v (x), 

 så besitter Q v (x) egenskapen 



(18) Q v {x+l) = x v Q v {x) + P, v {x), 



der B v (x) är en viss hel rationel funktion, hvars gradtal icke öfverskjuter 

 talet v — 1 . 



Vi skola nu bevisa en allmän sats, genom hvilken vi lära känna egen- 

 skaper, som fullständigt karakterisera funktionen Q v (x) , hvilken icke kan sa- 

 tisfiera det system af funktionaleqvationer, som i det föregående betraktats. 



