Om en ny klass af transcendenta funktioner. 375 



Detta system inbegripes såsom ett specielt fall uti följande system 



S (x 4- »A 

 (19) lim K 7 , J =K, S(x + l)=x v S(x)-R(x), 



m = x> { \m — 1 m ) 



der K betecknar en arbiträr konstant samt R (x) en allmän hel rationel funk- 

 tion, hvars gradtal icke öfverskjuter talet v — 1. Vi skola nu fullständigt in- 

 tegrera detta allmännare system samt uppvisa, att Q v (x) är en partikulär in- 

 tegral till detsamma. 



Emot hvarje par af en konstant K och en hel rationel funktion R (x), 

 hvars gradtal icke öfverskjuter talet v — 1 , svarar alltid en och blott en enda 

 funktion S(x), hvilken besitter egenskaperna (19). Det är vidare alltid och 

 blott på ett sätt möjligt att bestämma konstanterna p v p % , . . ., p v! p v + 1 så- 

 lunda, att 



S(x)=p 1 S 1 (x)+p a S !i (x)+. . .+ Pv S v (x)+p v+1 Q v (x), 



der S l (x), S a (x), . . ., S v (x) utgöra ett fundamentalsystem af partikulär a 

 integraler till sgstemet (9). 



Genom att upprepade gånger använda den senare af likheterna (19) 

 erhålles 



S (x + m) 



x v (x+l) v . . .{x + m~-l) v = 



S ( )_l B M,A^±A , R(x + tn-l) 



{) \ x v + x v (x + 1)" x v (x + 1)" . . . (x + m - 1)" 



Emedan 



S(x + m) 

 lim 



lim 



•=« x v {x+l) v . . .(x + m- 1)" 

 S (x + m) i | m — 1 m x 



«x 



så fås 



=<*> ( \m-\ m x Y \ x (x+l) . . . (x + m - 1) 



~, X -r. V , S V" R(X+ l>) 



s(x) = Kr v (x) + 2 j — 



= Kr v (x), 



x v (x + \y . . . (x + ny 



Om således en funktion med de i fråga varande egenskaperna (19) existerar, 

 så måste densamma kunna återgifvas under denna form. Emedan högra mem- 

 brum också verkligen framställer en funktion, hvilken uppenbarligen besitter 

 de antagna egenskaperna hos venstra membrum, så är härmed riktigheten af 



