376 Hj. Mel lin. 



satsens förra del bevisad. Vi ha tillika för 6' (x) erhållit ett analytiskt ut- 

 tryck, som utvisar att S (x) är en monogen funktion. 

 Emedan 



r v (x) = P v (x)+Q v (x) ! 



och emedan det alltid finnes ett och blott ett enda värdesystem p , p , . . ., p , 

 sådant att 



k p v (*) + t vrT7^ ±w rr-^ = * ^ ^ + ^ s > ® + - + U (*) > 



,^ x v {x+ 1) . . . (s + w) 



så är slutligen också riktigheten af satsens senare del bevisad, alldenstund en 

 och samma funktion tydligen icke kan satisfiera tvenne skilda likhetssystem af 

 formen (19). 



Då nu följaktligen uttrycket 



(20) S (x) = Pl 8 t (x) + p 2 S 2 (x) + ... +Pv S v (x) + KQ v (x) , 



genom en lämplig bestämning af konstanterna p^ p„, . ■ . , p v> K, kan fås 

 att blifva identiskt med hvilken som helst af de funktioner, som satisfiera 

 livar sitt speciela likhetssystem af formen (19), så är detta uttryck den all- 

 männa integralen till systemet af funktionaleqvationerna (19). hvilket genom 

 framställningen af denna integral nu är fullständigt integreradt. 

 Antager man att K — 1 och bestämmer konstanterna p så att 



p t S 1 (x) +p % 8 t {x) + ...+p 9 S v (x) = P v («), 

 så blir 



s(x) = r v (x). 



Antager man att K = och bestämmer konstanterna p sä som nyss, så blir 



S(x) = P v (x). 

 Antager man att K = 1 och sätter p x = p % — ■ • • =p v = O , så blir 



S(x) = Q v (x). 



I stöd af den nyligen bevisade satsen kunna vi nu uttala följande teorem, 

 hvilket innehåller svaret på de frågor, som uppstäldes i början af denna af- 

 handling. 



Funktionen F(x) = F v (x), hvilken besitter och är fullständigt bestämd 

 genom egenskaperna 



lim F{x + m) =1> y.( a . + 1 ) = a .» jF ( 4 .) j 

 »=» (\m- 1 m x y 



