Om en ny klass af transcendenta funktioner. 377 



kan sönderdelas i en summa af tvenne andra funktioner P v (x) och Q v (x\ , af 

 hvilka P v (x) är en partialbr åksserie af formen (14), hvilken besitter och är 

 fullständigt bestämd genom egenskaperna 



Um n^fL = ° ' P » (* + ! ) = * P * (*) - R v (*) , 



samt Q v (x) en beständigt konvergerande potensserie, hvilken besitter och är full- 

 ständigt bestämd genom egenskaperna 



lim n T ™ =1 ' ^* + 1) = œ " <?,(*) + *.(*)> 



ro=oo (|m — 1 JW ) 



der i2 v (a;) är en viss hel rationel funktion, hvars gradtal icke öfverstiger 

 talet v — 1 . 



Ett medel att beräkna koefficienterna uti B v (x) skall i det följande an- 

 giftas. 



Ibland de partikulära integralerna till systemet (19) äro funktionerna 

 1 (x) , P v (x) och Q v (x) särskildt anmärkningsvärda på följande grunder. 



r (se) är, på en konstant faktor när, den enda funktion, som satisfierar 

 likheterna (19), då man antager att B (x) är identiskt noll. 



Man kan åstadkomma en funktion, som satisfierar ett likhetssystem af 

 den sist nämnda beskaffenheten, endast genom att i den allmänna integralen 

 (20) sätta 



Ä S. (*) + P, 8 * (•) + --+P.B, (.r) = KP V (,•) . 



Q v ( r ) är, på en konstant faktor när, den enda funktion af hel karakter, 

 hvilken förmår satisfiera likhetssystemet (19). Uti detta system måste då nöd- 

 vändigt R(x) = — KB V (x). Af denna orsak är den hela rationela funktionen 

 B v (x) också särskildt anmärkningsvärd. 



På grund af den föregående utvecklingen veta vi, att. mot hvarje serie af 

 formen S (x) svarar en hel rationel funktion B (x), hvars gradtal icke öfver- 

 skjuter talet v — 1 , och sådan att 



S(x+l) = x v S(x)-B(x), 



samt att också omvändt hvarje sådan hel rationel funktion B (x) motsvaras af 

 en serie af formen S (x) , hvilken satisfierar denna likhet. Men vi ha ännu 



48 



