378 Hj. Mellin. 



icke närmare angifvit, huru den ena af dessa funktioner skall bestämmas, då 

 den andra är gifven. Betecknas första termens konstanter uti S (x) med 



A (0) >(0) .(0) 



samt koefficienterna uti R (x) med 



a v a «i • • -i »•> 

 så beror allt på att kunna bestämma det ena af dessa värdesystem, när det 

 andra är gifvet. Vi antaga först att det förra är gifvet och att det senare 

 skall bestämmas. Det gäller härvid blott att utveckla 



B (x) = A^ + A^x+--.+ A™ x v - » - S (x + 1) + x v £ ( -^- + • • ■ + 



£\x + n (x + ftf 



efter hela och positiva potenser af x och att ifrån utvecklingen frånskilja de 

 termer, hvari x har en lägre exponent än v. Emedan utvecklingen af sista 

 termen i högra membrun börjar med potensen af, så erhålla vi genom att ifrån 



S(x+l) = S(l) + S'(ï)x + ... + &1 liL)^-'+ 



| v — 1 

 uttaga blott de termer, i hvilka exponenten för x är mindre än v: 



(2i) i2(^)=(4 0) -Ä(i))+(4 !. 1 -Ä'(i)) !B + • • • +(a™-^ v -^)x»-k 



Emedan 



gW ( x \ °° / /») aM An) 



nr = S( (r) s^f + " ' + (r) t. r +«F- + ' ' ' + (v) ^M 



och således 



(22) H = £-l-r 



- S r-rTvvn ( (*-i ) -ti + • " + (* - » } r±rt + ■ • • + (^) rf^ ) ' 



;SJ (w + 1) A \ n + \ (n + 1) (n + 1/7 



*=1, 2, 3, . . . v-1, 



så finner man, att livar och en af koefficienterna a kan uttryckas genom en 

 serie, der termerna äro homogena och lineära funktioner med rationela koef- 

 ficienter utaf storheter, som äro bestämda genom rekursionsformlerna (2). 



