Om en ni/ klass af transcendenta funktioner. 379 



Serierna (22) äro ganska starkt konvergerande likasom det samma också 

 är fallet med hvarje serie af formen S (x). För att inse detta behöfver man 

 endast upprepade gånger använda den i det föregående härledda olikheten 



^i+i^n-.+i^KgHir + 4-" +-.-+MM), 



då man erhåller 



ifi+Mri+-+i4"i<|)^M«>,), 



der M har det konstanta värdet 



Har man för hvart och ett af elementerna i ett fundamentalsystem af par- 

 tikulära integraler till systemet af funktionaleqvationerna (9) bestämt den 

 motsvariga funktionen R(x), så kan man sedan alltid bestämma den serie af 

 formen S(x), som svarar mot en godtyckligt gifven hel rationel funktion, hvars 

 gradtal icke är större än /• — 1. Riktigheten häraf framgår omedelbart ur de 

 betraktelser som anstäldes, då det var fråga om systemet af funktionaleqva- 

 tionerna (9). — Likaledes inses, huru samma problem skall lösas för det 

 allmännare systemet (19). 



Problemet att finna den funktion S (a;), som svarar emot en gifven hel 

 rationel funktion R(x), kan också lösas' alldeles direkt, utan att man först 

 för elementerna i ett fundamentalsystem behöfver bestämma de motsvariga 

 funktionerna R(x), såvida man icke håller på, att S (x) bör framstå under 

 formen af en partialbråksserie. Ty detta problem har redan blifvit löst genom 

 den i det föregående härledda likheten 



R (x + n) 



(23) S W=2 o 7(c 



(x +l) v . . . (x + n) v 



Konstanterna uti serien P v (x) ha genom likheterna (12) blifvit uttryckta 

 under formen af definita integraler. Det kan emellertid vara önskvärdt att 

 ha ett medel att bestämma det numeriska värdet af konstanterna i första 

 termen. Förmedels rekursionsformlerna (13) kunna sedan de öfriga beräknas. 

 Genom partiel integration erhålles 



