Om en ny klass af transcendenta funktioner. 383 



Sättes 



s r x) = l*(x + a)l*(x + b) . . .V v { X +c) 



r l (x + a )r m (x + ß) . . . r n (x+ r ) 



der exponenterna äro hela och positiva tal, så besitter S (x) egenskapen 



8(x + l)=r(x)8(x), 



der r {%) beteeknar en rationel funktion. Ur denna likhet tås 



r (x)8(x) + r 1 (x)S(x+l) = 0, 



der r Q och r ( äro hela rationela funktioner. I stöd af den Mittag-Lkff- 

 lerska satsen kunna vi sätta 



S(x) = F 1 (x) + F i (x), 



der F är en partialbråksserie samt F ti en beständigt konvergerande potens- 



serie. Med anledning af de satser, som gälla om i' (V), ligger det nära till 

 hands att antaga, att F x besitter egenskapen 



r (x)F 1 (x) + r 1 (x)F 1 {x + l) + B(x) = 0, 



och följaktligen F a egenskapen 



r o (x) F 2 (x) + r x (x) F 2 (x + 1) - B (x) = , 



der R är en hel rationel funktion eller åtminstone en funktion af hel karakter. 

 Man bör derföre först undersöka, hvilka vilkor oändlighetsställenas konstanter 

 uti en serie af formen F måste uppfylla, för att serien må besitta den i fråga 

 varande egenskapen, och sedan söka att verkställa den följande undersökningen 

 såsom vid r v (x). 

 Sättes vidare 



S (x) = r 00 (x) + r m (*) T (*) + ... + r w (x) V* (x) , 



der r . . . r äro rationela funktioner så erhåller man genom användning af 

 likheten r (x + 1) = x F (x) följande system af eqvationer 



S (x) = r 00 (x) + r m (x) I(x) + ... + > w (x) 1 ^ (*) 

 S (x + 1) = r w (x) + r„ (x) F(x) + ...+ r„ (x) F v (x) 



S (x + v) = r vo (x) + r. n (x)r(x) + ..'. + r vv (x) 1 * (x) 



