384 Hj. Mellin. 



Genom élimination af r(x), r*(x), . . ., r" (x) fås en likhet af formen 

 r (x)8(x)+r 1 (x)S(x+l) + . . . -f r v (x) 8 (x + v) = O , 



der r , r,, . . . , r. , äro hela rationela funktioner. Denna likhet gifver också 

 anledning till undersökningar, som äro likartade med de nyss nämnda. 



Gammafunktionen intager som hekant en framstående plats inom teorin 

 för definita integraler. Man kan derför fråga, huruvida icke ett studium af 

 sådana funktionaleqvationer, hvarom i det föregående talats, kan blifva af en 

 viss betydelse för denna teori. I allmänhet kan man med dessa hjelpmedel 

 åtminstone icke så omedelbart erhålla värdet af en définit integral, som då 

 det gäller att öfvertyga sig om riktigheten af likheten 



i 



P(x)= f e'U*' 1 dt, 



h vilken utan vidare erhåll es, om man observerar att hvardera membrum be- 

 sitter egenskaperna 



lim F ( x + m ) = p( x + \) = x p( x )- e -\ 

 \m- 1 m x ' v J K J 



Men om man också i allmänhet måste anställa vissa förberedande undersök- 

 ningar, så uppdagas härigenom i gengäld ett intressant, inre samband emellan 

 vissa slag af differentialeqvationer och sådana funktionaleqvationer, som i det 

 föregående anförts. För att i någon mån antyda, af hvilken beskaffenhet detta 

 samband är, vill jag här anföra en ibland de enklaste af de satser hvilka jag 

 erhållit. 



Hvarje fundamentalsystem af partikulära integraler 



% (t), % (t), . . ., (fv (t) 

 till den homogena och lineära differentialeqvationen af v.te ordningen 

 D,t I) t t . . . D t t D t <p(t) = (-l) v <p(t) 



motsvaras af ett sådant fundamentalsystem af partikidära integraler 



S^x), 8 t (x) : . . ., 8 v {x) 

 till systemet af funktionaleqvationerna 



lim , F(X + % = 0, S(x+l) = x v 8(x)-B(x), 



,„ = oo (\m— 1 m y 



