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Coordinaten gegeben, welche aus (n — k + l)-reihigen Determinanten von Punkt- 

 coordinaten bestellen. Im Räume zum Reispiel, wo x, y Punkt- und ii, v 

 Ebenencoordinaten bedeuten, sind die Coordinaten der Geraden (uv) oder (xy). 

 In dem binären Gebiete können nur Punktcoordinaten vorkommen. Aber 

 eine binäre Form kann auch mehrere Reihen cogredienter Veränderliche ent- 

 halten. Hat man eine derartige Form, kann man immer ein damit aeqviva- 

 lentes System von Formen finden, von denen jede nur eine Reihe Veränder- 

 licher enthält, d. h. ein simultanes System, welches dieselbe Coordinaten hat, 

 wie die vorgelegte Form. Man braucht nähmlich nur die Form nach Polaren 

 zu entwickeln. Hat man die binäre form rj" s/, bilden die Elementarco va- 

 rianten r x m s x m , {rs)r™~ 1 r"~ l .... ein aeqvi valentes System. Die Polaren 

 genügen ; wie bekannt, Differentialgleichungen von der Form 



d*f _ ?f _ Q 



dxi dy % dxrt dy 1 



Für Formen von höherer Mannigfaltigkeit hat Clebsch bewiesen, das jede 

 Form mit mehreren Reihen von Veränderlichen immer ersetzt werden kann 

 durch ein ihr aeqvi valentes System von Formen, die nur eiue Reihe von Ver- 

 änderlichen jeder Classe enthalten. Ein solches System wird ein reducirtes 

 genannt. Ferner können die verschiedenen Formen in dem Systeme so be- 

 stimmt werden, dass sie in Bezug auf je zwei Reihen p, q von dualistisch ent- 

 gegengesetztem Charactere die partielle Differentialgleichung 



y -i =o 



AJ dp,,, . . . dq ih . . . 

 befriedigen. 



Das reducierte System einer ternären Form besteht aus Formen, die nur 

 eine Reihe Punkt- oder eine Reihe Linien- oder endlich eine Reihe Punkt- 

 und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten. Befriedigen die Formen die 

 Gleichung 



tAr^ir=« 



dx x du K dx 2 du 2 dx 3 du s 



werden sie Normalformen genannt und das System ist ein eigentlich redu- 

 cirtes. Gordan hat gezeigt, dass eine ternäre Form, welche contragrediente 

 Veränderliche enthält, durch Normalformen ausgedruckt werden kann. *) Mit 

 Bezug darauf hat Clebsch bewiesen, dass die Coefficienten der Formen in 

 dem eigentlich reducirteu Systeme unabhängig von einander sind Somit ist 



*) Ueber Combinante^ Math. Annal. V. 



