Bestimmung von reducirten Systemen fernerer Formen. 401 



die Zahl der unabhängigen Coefflcienten in einer ternären Form gleich der 

 Gesammtzahl der Coefflcienten in dem reducirten Systeme. 



Die ternären Formen representiren Gebilde der ebenen Geometrie. Des- 

 wegen verdient das Studium dieser Formen eine besondere Beachtung. Durch 

 die Clebsch- Gordansche Arbeiten ist die Theorie der Normalformen vollständig 

 festgestellt. Unsereswissens hat man von der Theorie keine eigentliche An- 

 wendung gemacht. *) Es scheint uns doch nicht ohne Intresse zu sein auf 

 diese Frage näher einzugehen. Wir wollen darum im Folgenden eine Be- 

 stimmung von den eigentlich reducirten Systemen in den einfachsten Fällen 

 vornehmen. Wir lassen eine elementare Herleitung von den Gordanschen 

 Sätzen vorangehen. Schliesslich werden einige Bemerkungen über Connexe in 

 der Ebene gemacht. Wie bekannt sind die Verbindungen von Punkten und 

 Geraden in einer ternären Form Elemente in einem Gebilde, welches nach 

 Clebsch Connex genannt wird. 



§ 1. Herleitung der Normalformen und Entwickelungen nach denselben, 



Wir bezeichnen mit aj" u a n eine ternäre Form m:ter Ordnung und w:ter 



Classe und nehmen an, dass m > n. Durch ft-faltige Anwendung des Processes 



dxi dih dx 2 du 2 dx 3 du. 



erhält man die Covariante a a k aj"~ k u ci "~ k . Man kann nun zeigen, dass die 

 Coefflcienten C in der Entwickelung 



(2) (f = C Q aj" u a m + C, a a a; n ~ J u a n ~ ' . w, + • • • + C k a a k aj" ~ k u a n ~ k . u k + • ■ . 



so bestimmt werden können, dass cp eine Normalform wird. Unterwirft man 

 (f dem Ji-processe, und beachtet, dass 



(3) il (fpf u; . uf) = W J-' u;^ M / <r„ + q ((i + V + Q + 2) qp/ */ u m '~\ 

 so erhält man, wenn ß (9?) gleich Null gesetzt wird, 



^ C k < [ ( m - /,: ) - k ) «." " ' % ' l °a- % + 



k = 



k (m + n — k + 2) a™ ~ l u^~ k u^ 1 = . 



*) In der Clebschen Geometrie findet sich eine Bestimmung der Normalformen von a b '' U 



x y « 



nach einer Methode, die ziemlich complicirt und wenig übersichtlich scheint. 



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