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dinaten reducirt. Die Réduction einer Form mit mehreren Reihen Linien- 

 coordinaten geschieht in gleicher Weise. Enthält die Form sowohl Punkt- als 

 auch Liniencoordinaten, reducirt man zuerst in Bezug auf die Punkt-, dann 

 auf die Liniencoordinaten u. s. w. Aus dem angegebenen Verfahren geht 

 auch hervor, dass das reducirte System immer endlich ist. 



Um die Normalformen zu finden, scheidet man zuerst alle Formen aus, 

 die nur eine Reihe Veränderlicher enthalten. Die übrigen entwickelt man 

 nach Normalformen. Alle die so erhaltenen Formen bilden das eigentlich re- 

 ducirte System. 



Dieses allgemeine Verfahren wollen wir nun an einem Beispiel zeigen 

 und nachher ohne etwaige Herleitung einige einfache Systeme von Normal- 

 formen hinschreiben. Wir setzen uns vor das eigentlich reducirte System 

 der Form 



(19) f= a ï h » U « 



zu suchen. Entwickelt man f nach Polaren in Bezug auf y und setzt (xy) = v, 

 erhält man 



f= ( a ; v 'O, + («, K "J, ("H + 1 M « i aU f • 



Somit ist das erste aeqvivalentc System 



(20) a-b-u^; a x b x u tt (abv); u a (abvf . 



Die erste von diesen Formen gehört schon dem reducirten Systeme an. Um 

 die zweite zu reduciren entwickeln wir dieselbe nach Polaren in Bezug auf v 

 und finden dann 



(21) a x b x u a (abv) = a x \ [u a (abu)\ + l a x b x [u a {abv) - v a (abu)] . 



Der erste Term rechter Seite ist schon reducirt. Setzt man (uv) = y, kann 

 die zweite, abgesehen von Zahlcoefficienten, geschrieben werden 



(22) .......'... a x b x [« (ab) y] = a x b r (a y b a - a a b y ) . 



Entwickelt man die rechte Seite in (22), findet man, wenn (xy) = w, 



(23) a x b x (a y b a - a a b) = [a, \ (a. b a - a a b x )\ - £ (a a b x + b a «J (abu) . 

 Wir haben noch ti a (abv)~ zu entwickeln. Man findet 



u a (abvf = [(abv? v a \ + | (àbv) [(abv) u a - (abu) v tt ] . 

 Setzt man (vu) = x, hat man die beiden Formen (abvfv a und (abv) (ab tt - a a bj. 



