I. Einleitung. 



1. Nach der Klein-Poiucaréschen Uniformisierungstheorie ist es möglich jede analytische 

 Funktion y (x) zu uniformisieren, d. h. eine Funktion z (x, y) zu finden, durch welche sich so- 

 wohl x als y als eindeutige Funktionen darstellen lassen. Diese Funktion, deren Wahl übrigens 

 in hohem Grade willkürlich ist. genügt einer Differentialgleichung der Form 



[z] x = <p(x, y), 



wo [z] x den bekannten Schwarzsehen Differentialausdruck 



d.r 



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J.V 



y 



bedeutet, und wo cp (x. y) eine auf der zu y (x) gehörigen Riemannschen Fläche eindeutige ana- 

 lytische Funktion ist. Auf dieser Fläche ist z{x, y) eine stets einwertige, im Allgemeinen un- 

 endlich vieldeutige analytische Funktion, deren verschiedene Zweige von einander linear abhän- 

 gen. Diese linearen Substitutionen bilden eine in der ^-Ebene eigentlich diskontinuierliche 

 Gruppe, deren Charakter durch die spezielle Wahl der ,.linearpolymorphen" Funktion e(x, y) 

 bedingt ist. Man kann z. B. erreichen, dass die Gruppe einen Grenzkreis besitzt, und gelangt 

 in dieser Weise zu uniformisierenden Transzendenten, die namentlich bei allgemeinen Unter- 

 suchungen eine zentrale Stellung einnehmen. 



Dagegen sind z. B. in dem Spezialfälle, wo y (x) eine algebraische Funktion ist, auch die- 

 jenigen polymorphen Funktionen von hervorragendem Interesse, welche zu Gruppen mit kom- 

 plexen Substitutionskoeffizienten führen. Hierher gehören u. a. diejenigen Gruppen, deren Po- 

 lygonnetz die ganze 3-Ebeue bis auf unendlich viele diskrete Grenzpunkte bedeckt, und unter 

 welchen die Gruppen des Schottkyschen Typus den bekanntesten Spezialfall bilden. 



2. Die „Fundanientaltheoreme der automorphen Funktionen-', welche die Existenz der poly- 

 morphen Funktionen verschiedener Art bei gegebenen analytischen Gebilden behaupten, sind 

 neuerdings besonders durch die Arbeiten von Koebe vollständig bewiesen worden. Mau hat 

 aber bisher uur wenige Versuche gemacht, um die Uniformisierung mit geeigneten Hilfsmitteln 

 wirklich durchzuführen. 



