4 P. -T. Myrberg. 



Zu diesem Zwecke kanu inan sich zweier verschiedener Methoden bedienen. 



Die erstere nimmt Anschluss an die Differentialgleichung' (1), in welcher im Falle alge- 

 braischer Funktionen die rechte Seite in x and y rational ist. Zur Definition dieser rationalen 

 Funktion dienen zunächst gewisse algebraische Bedingungen, welche dieselbe bis auf eine An- 

 zahl unbekannter Koeffizienten bestimmen. Diese „akzessorischen Parameter" werden dann 

 durch die übrigen transzendenten Bedingungen eindeutig festgelegt. Und nun besteht die be- 

 treffende Methode darin, dass man diese Parameter wirklich zu berechnen versucht. Wegen 

 der komplizierten Natur der transzendenten Bedingungen hat man aber diese Berechnung nur 

 bei den niedersten Fällen durchführen können ')• 



3. Es ist bei dieser Sachlage von Interesse, dass mau im Besitze einer zweiten Methode 

 ist, die nicht mit so grossen Schwierigkeiten verbunden zu sein scheint. Die bezügliche Idee 

 findet sich zum ersten Male bei Poincaré in der berühmten Abhandlung Mémoire sur les grou- 

 pes des équations linéaires 2 ), wo die polymorphen Funktionen als Grenzfälle algebraischer Funk- 

 tionen betrachtet werden. 



Nach diesem Prinzip, welches in der Theorie der elliptischen Funktionen in der Lan- 

 denschen Transformation und der Gaussischeu Methode des arithmetisch-geometrischen Mittels 

 sein Vorbild hat. wird die Berechnung der polymorphen Funktion auf eine unendliche Folge 

 von Wurzelausziehungen zurückgeführt. Später hat auch Schlesinger 3 ) sich mit dieser Methode 

 beschäftigt, und neuerdings kommen Operationen derselben Art bei Koebe 4 ) vor (Schmiegungs- 

 verfahren). 



4. Man kann das Poincarésche Prinzip z. B. in folgender Form aussprechen : 

 Wenn irgend eine irreduzible algebraische Gleichung zwischen x und y 



P(x, y) = O 



gegeben ist, so ist es stets möglich, und zwar auf unendlich viele wesentlich verschiedene Weisen, 

 eine unendliche Folge rationaler Transformationen 



(2) x n = r(x ll + i) (n = 0, 1, 2, . . .) {> n = x) 



zu finden, so dass die algebraische Funktion x„ (x) sich bei unbegrenzt ivachsendem n einer trans- 

 zendenten Grenzfunktion z (x) nähert, in ivelcher sowohl x als y eindeutig tuet den. 



Bei den Gebilden ersten Geschlechtes ist man schon lange im Besitze einer solchen Trans- 

 formationskette gewesen. Wenn nämlich in der bezüglichen Gleichung, die in der Form 



') Rothe, H. lieber das Orundtheorem und die Obertheoreme der automorphen Funktionen im Falle der 

 Hermite-Lame'schen Gleichung mit vier singulären Punkten (Monatsh. für Mathem. u. Phys. 19 (.1908)). 



2 ) Acta mathematica, Bd. 4 (1884) S. 285—302. 



s ) Schlesinger, L. Zur Theorie der Fuchsschen Funktionen (d'elles Journal 105 (1889)). 



*) Koebe, P. Über eine neue Methode der konformen Abbildung und Uniformisierung (Göttinger Nach- 

 richten (1912) S. 861—878). 



Tom. XLVIII. 



