Über die numerische Ausführung der Uniformisierung. •"> 



geschrieben sei, die Laudensche .Substitution 



,4) °L=+J^Z*\\ 



x — b x \Xi~aJ 



wo 



ist, gemacht wird, wird dieselbe iu eine »eue Gleichung der Form 



„ x, — «,' Xi — a 2 f „ ] 



transformiert, wobei die Entfernung der beiden äusseren Windungspunkte der zugehörigen 

 Riemaunschen Fläche verkleinert, diejenige der mittleren Windungspunkte aber vergrössert wird M. 

 Wir führen nachher eine neue Laudensche Substitution aus, indem wir iu der früheren (4) 

 die links stehenden Windungspunkte von (3) durch die rechts stehenden Windungspunkte a 2 , b 2 

 von (5) ersetzen, und alsdann eine unendliche Folge analoger Transformationen, welche für ge- 

 rades bzw. ungerades n durch 



x n - q t w = / Xn + i- c /"'* 3 bzw Xn-aî"' = (x H + i - c^V 

 Xn - 6i w U. + 1 - ^i l "7 ' ' a* - ^2 ( " ' U + 1 - dfV 



definiert werden, wo a/" , b i { "' ) , a 2 "\ b 2 in) die Windungspunkte der nach Ausführung der n ersten 

 Landenschen Substitutioneu erhaltenen Riemaunschen Fläche 



« ^h ^1 X n ™2 



z»-V" »»-6 



2 



R„ (X n ) 



sind. Hierbei nähern sich die Windungspunkte paarweise unbegrenzt einander, und man erhält 

 beim Grenzübergang n = oo eine über die ,?-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche 



2/ 2 = [*U*)] 2 , 

 deren beide Blätter durch die zu zwei Doppelpunkten 



a = lim a/"' = lim &/"', fi = lim a 2 w - lim ^ 2 



ausgearteten Windungspunktpaare vollständig von einander getrennt sind. Mit anderen Wor : 



ten: es ist nicht nur x, sondern auch y eine eindeutige Funktion von z. Hierbei gewinnt man 



durch die Grenzausdrücke 



lim x n (x), lim R» (x) 



eine analytische Darstellung von x und y als doppeltperiodische Funktionen des Arguments 



, z — a 



J ) Wegen der näheren Einzelheiten vgl. No. 30. 

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