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Entsprechendes gilt nun auch bei den Gebilden höherer Geschlechter. Man erhält wie vor 

 eine unendliche Folge von Kiemannscheu Flächen mit konstanter Blätterzahl, jedoch mit dem 

 Unterschied, dass die Anzahl der Wiudungspunkte und somit auch das Geschlecht mit n un- 

 endlich werden. An der Grenze ergibt sich eine über die Ebene der polymorphen Funktion 

 2 = lim sc« ausgebreitete Riemannsche Fläche, deren unendlich viele paarweise mit einander koin- 

 zidierende Windungspunkte mit den unendlich vielen Grenzpunkten der zugehörigen Gruppe 

 zusammenfallen, wobei die Blätter wieder isoliert werden und y also eine eindeutige Funktion 

 von z wird. 



•">. Nachdem irgend eine Folge rationaler Funktionen der erwähnten Art gefunden ist, kann 

 mau, von einem gegebenen Wert der Veränderlichen x ausgehend, die zugehörigen Werte von 

 x it x 2 , . . ., x„, ■ ■ ■ berechnen, iudem man eine Reihe von algebraischen Gleichungen auflöst, 

 die obeu allgemein mit 

 (2) r(x n+ i) = x„ 



bezeichnet wurden. Mau kann in dieser Weise für jeden gegebenen Wert x den zugehörigen 

 Wert der polymorphen Funktion z mit vorgeschriebener Genauigkeit ermitteln. 



Bei unserem Standpunkt werden natürlich diejenigen polymorphen Funktionen von der 

 grössten Bedeutung sein, die zu möglichst einfachen Gleichungen (2) führen. Eine besonders 

 wichtige Funktion dieser Art ist diejenige, deren Existenz voii Klein ') in dem sog. Sichel- 

 theorem ausgesprochen ist. Dieses Theorem lautet: 



Wenn auf der schlichten Ebene eine gerade Anzahl Punkte a,, b, (t = l, 2, . . ., m) mar- 

 kiert ist, welche je zwei, a, und &,-, mit bestimmten positiven ganzen Zahlen ,u, {inkl. oo) behaftet 

 und mit einander durch Schnitte vereinigt sind, so gibt es eine polymorphe Funktion, welche die 

 geschnittene Ebene auf einen Bereich abbildet, der durch „Ineinanderschiebung" der zweieckför- 

 migen Fundamentalbereiche gewisser zyklischen Gruppen gebildet werden kann. 



Wir werden sehen, dass in diesem Falle die Gleichungen (2) binomische Gleichungen sind, 

 vorausgesetzt, dass alle /j, endlich sind, woraus folgt, dass die Berechnung der polymorphen 

 Funktion auf Wurzelausziehungen zurückgeführt wird. 



In der obigen Weise lassen sich alle algebraischen Funktionen iiniformisieren. Aber auch 

 gewisse transzendenten Funktionen werden in unserer Hilfsvariablen eindeutig. Um besonders 

 auf die Abelschen Integrale dritter Gattung Rücksicht nehmen zu können, soll auch die Mög- 

 lichkeit fj, = oo zugelassen sein. In diesem Falle wird mau neben etwaigen elliptischen erzeu- 

 genden Substitutionen auch parabolische erhalten, wobei die binomische Gleichung in eine ex- 

 ponentielle übergeht. 



Die von uns gewählten uuiformisierenden Transzendenten zeigen noch ein sehr geeignetes 

 Verhalten bei der umgekehrten Aufgabe, nämlich bei der Aufstellung der Formeln, welche die 

 verschiedenen Funktionen durch die uniformisierende Hilfsvariable ausdrücken. Wir haben näm- 

 lich in einer früheren Arbeit gezeigt, dass bei den Gruppen der betrachteten Art die Poin- 



') Der Satz bildet eigentlich einen Spezialfall eines allgemeineren, ebenfalls von Klein ausgesproche- 

 nen Satzes, welcher von Kobbe bewiesen ist (Mathematische Annalen Bd. 69, S. 1—81 (1910)). 



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