I 'hrr die numerische Ausführung der Uniformisierung. 7 



caréschen Reihen (- 2) tci Dimension absolut konvergent sein können 1 ). Hieraus ergibt sich die 

 Möglichkeit, diese analytische Darstellung äussersl bequem mittels jener Reihen bzw. der 

 Schottkyschen Produkte zu bewerkstelligen. Hei Grenzkreisgruppen, auf welche sich übrigens 

 die Arbeit von Poinoaké bezieht, ist dies mich dem Ritterschen Satz bekanntlich nicht der Fall. 



c Als Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtungen dient, die mit einer Anzahl m 

 Einschnitte <(, /», versehene ./-Ebene, die je mit einer positiven ganzen Zahl /*, behaftet sind. 

 Es handelt sich um die Berechnung derjenigen linearpolymorphen Funktion ; (x), die nach dem 

 Sicheltheorem bis auf eine lineare Transformation bestimmt ist und welche die Signatur (o, m; 

 ,"i- t*i, ■ ■ ; (*m) hat. Zur Kenntnis der Gruppe dieser Funktion reicht es hin, ihre erzeugenden 

 Substitutionen zu berechnen. Das zu lösende Problem können wir uns in zwei Aufgaben ge- 

 teilt denken. Erstens handelt es sich darum, die Kette der Transformationen (2) explizite auf- 

 zustellen, und zweitens, die Schnelligkeit der Konvergenz der zugehörigen Wurzeloperationen zu 

 untersuchen. Hierbei kann man zwei verschiedene, einander entgegengesetzte Verfahren ein- 

 schlagen, jenaehdem man die Grössen x, x 1 , x 2 , . . ., x„, . . . als algebraische Funktionen der 

 ersten unter ihnen x, oder als eindeutige automorphe Funktionen der letzten unter ihnen, näm- 

 lich ; = lim x„ betrachtet. Wenn es sich um die Existenzbeweise handelt, so empfiehlt sich die 



erste Methode, in welchem Falle die Aufstellung der Gleichungen (2) ein einfaches Problem 

 der Analysis situs bildet. Wir glauben jedoch für unsere Entwicklungen eine anschaulichere 

 Form dadurch zu gewinnen, dass wir von der zweiten Darstellungsform Gebrauch machen, 

 welche uns gestattet, unsere Aufgabe als Problem der Transformation der automorphen Funk- 

 tionen zu behandeln. Von grundlegender Bedeutung wird hierbei <U'\- Satz sein, welcher be- 

 sagt, dass zwischen zwei automorphen Funktionen, deren Gruppen kommensurabel sind, d. h. 

 welche als Untergruppen vom endlichen Index einer und derselben Gruppe, aufgefasst werden 

 können, algebraisch mit einander verbunden sind. 



Was die explizite Darstellung der Konvergenzkriterien betrifft, so geschieht sie in gewis- 

 sen speziellen Fällen durch ganz elementare Betrachtungen, in allgemeineren Fällen aber mit- 

 tels eines Satzes, der als eine Verallgemeinerung eines Satzes von Koebe angesehen werden 

 kann. Der Verzerrungssatz, welchen man mit so grossem Erfolg bei verschiedenen Existenz- 

 beweisen angewandt hat, scheint für unseren Zweck weniger geeignet zu sein. 



') Zur Theorie der Konvergenz der Poinoareschen Reihen {Zweite Abhandlung) (Annales Acaclemiae scien- 

 tiarum fennicae Ser. A. Tom. XI N:o 4 (1917)). 



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