II. Lösung des gruppentheoretischen Problems. 

 A. Definition der Untergruppen. 



7. Es seien 



elliptische Substitutionen, deren Perioden /t» 1} /i 2 , .... /j,„ irgend welche positiven ganzeu Zahlen 

 sind. Wenn wir eine Zahl /i = oo setzen, so soll hiermit verstanden werden, dass die ent- 

 sprechende Substitution parabolisch ist. 



Eine beliebige S ( unter diesen Substitutionen bildet mit ihren positiven und negativen Po- 

 tenzen eine zyklische Gruppe der Ordnung /»,-. Die Polygonteilung dieser Gruppe wird gewon- 

 nen, indem man von dem einen Fixpunkt von 8 { zum anderen eine sich nicht schneidende Kurve 

 zieht, welche nur der Bedingung unterworfen ist keine bezüglich der zyklischen Gruppe äquiva- 

 lenten Punkte zu enthalten. (Im parabolischen Falle zieht man eine durch den Fixpunkt ge- 

 hende geschlossene Kurve). Vermittels der Potenzen von S,- wird dann als Polygonnetz eine 

 Anzahl von nebeneinander gelegenen Zweiecken erhalten, welche in den Fixpunkten ihre ge- 

 meinsamen Spitzen haben. Indem wir unter diesen Zweiecken dasjenige fortlassen, welches sich 

 ins Unendliche erstreckt, erhalten wir einen Bereich, den wir kurz „Sichel" nennen. 



Wir nehmen jetzt eine Anzahl elliptischer oder parabolischer Substitutionen, deren Sicheln 

 ausserhalb einander gewählt werden können. Unter dieser Bedingung ist die von ihnen erzeugte 

 Gruppe r sicher eigentlich diskontinuierlich. Der Fundamentalbereich dieser Gruppe besteht aus 

 dem ausserhalb der Sicheln gelegenen Teil der Ebene. 



Vermöge der Substitutionen von r wird mau eine unendliche Anzahl von ineinander ge- 

 schalteten Sicheln erhalten. Indem wir den ursprünglichen Sicheln die Stufenzahl Eins beile- 

 gen, nennen wir die von ihnen nächst umschlossenen Sicheln „Sicheln zweiter Stufe", u. s. w. 

 Bei unbegrenzt wachsender Stufenzahl werden die Dimensionen der Sicheln unendlich klein. Sie 

 häufen sich dabei nach den unendlich vielen Grenzpunkten der Gruppe. 



Unsere Gruppe r hat das Geschlecht Null. Zu diesem Ergebnis gelangt man ganz einfach, 

 wenn man vermittels einer stereographischen Projektion zu der Riemannschen Kugelfläehe über- 

 geht und dort den Fundamentalbereich in eine geschlossene Mannigfaltigkeit verwandelt, indem 

 man durch eine stetige Deformation die paarweise äquivalenten Randpunkte jeder einzelnen Sichel 

 zusammenfallen lässt. Man erhält dann eine Vollkugel, die ja eine Fläche vom Geschlecht Null ist. 



Tom. XLVIII 





