l r her die numerische Ausführung der Uniformisierung. i) 



8. Wir fügen jetzt dein Fundamentalbereich B von r alle diejenigen Bereiche hinzu, 

 welche aus ihm vermittels der Potenzen einer beliebig gewählten erzeugenden Substitution 8/, 

 hervorgehen, und erhalten einen zusammenhängenden, von Sicheln begrenzten Bereich ß, , wel- 

 cher den Fundamentalbereich einer gewissen Untergruppe l\ bildet. 1 »ie.se Gruppe r, , welche 

 neben den Substitutionen 



,V| 'i » 8 2 , .... iSV _ i , St + 1 , . . . , 8,„ 



die folgenden 



I * = 1, '2. . . . , i — 1, fc + 1, . . . , ml 



als erzeugende Substitutionen hat, ist von derselben Art wie r. Man kann ferner die Substitu- 

 tionen von /" in /J k Horizontalreihen 



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ordnen, wo die erste Reihe die Gesamtheit der .Substitutionen von /', enthält und wo 7',, T 2 , . . . T„ _, 

 welche die von der Identität verschiedenen Potenzen von S k darstellen, ein „Repräsentantensy- 

 stem" der Untergruppe J\ bezüglich der Gruppe F bilden '). 



In der Tat sei 1 irgend eine Substitution von r. Das zugehörige Polygon bildet mit ge- 

 wissen (i k — 1 anderen damit hinsichtlich /'kongruenten Polygonen ein Polygon von I\. Wenn 

 mit S die zugehörige Substitution von M bezeichnet wird, so wird das erstgenannte, der Substi- 

 tution 2 angehörige Polygon durch 8 ~ ' auf einen Bereich abgebildet, welcher einer gewissen 

 Potenz T v von S k entspricht. Aus 1S~ 1 = T V folgt aber 



womit bewiesen ist, dass I\ eine Untergruppe des Index /j, k . von r ist. 



Wir können jetzt die Gruppe r, in ähnlicher Weise zerlegen, und indem wir so weiter 

 gehen, definieren wir eine unendliche Folge von Untergruppen 



m Mi ' 2 1 m ) • • • i r« i ■ ■ ■ ■ 



unter welchen jede in allen vorgehenden als Untergruppe enthalten ist. Bei der Wahl dieser 

 Untergruppen hat man nur daran festzuhalten, dass die zugehörigen Fundamentalbereiche sich 

 bei unbegrenzt wachsendem Index n über das ganze Polygonnetz ausdehnen, d. h. keinen von 

 den Grenzpunkten verschiedenen Punkt unbedeckt lassen. Im Falle lauter elliptischer Substi- 

 tutionen wachsen dabei die Stui'enzahlen der Randsicheln der Fundamentalbereiche mit dem In- 

 dex n unbegrenzt. 



') Wegen der Terminologie vgl. R. Frickb und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen 

 Modulfunktionen, Bd. I S. 310. 



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