LO P. .T. Myrberg. 



y. Wir führen hier eine Klassifizierung der Substitutionen der vorgelegten (Gruppe 1" ein, 

 indem wir eine Substitution 



(7 > a? s;; ... sj;, 



die v Potenzen der Primfaktoren enthält, eine „Substitution r l " Stufe" nennen und kurz mit 

 S lvt bezeichnen. Vermöge (7) wird jede Randsichel #,-, wo i^ii ist, auf eine Sichel (i'+l)"" 1 ' 

 Stufe abgebildet. 



Ferner bemerken wir, dass allgemein eine Sichel (v + l) 1 " Stufe eine zyklische (Truppe von 

 Substitutionen (2 v -f- 1)' 01 ' Ordnung definiert, deren Fuudamentalbereich aus dem Äusseren der 

 Sichel besteht. Für die oben besprochene Sichel z. B. hat diese zyklische Gruppe S" 1 S. S 

 als erzeugende Substitution. 



Es sei nun N die kleinste Stufenzahl der Handsicheln des Fundamentalbereichs B„ von /'„. 

 Die niederste bei den erzeugenden Substitutionen von r„ auftretende Stufenzahl ist dann 2iV— 1. 

 Wir behaupten, dass jede Substitution von /'„, die keine Potenz der ersteren ist, von höherer 

 als (2 N- l) te '' Stufe ist. 



Zum Beweis schreiben wir eine beliebige Substitution S ( „, von /'„ in der Form 



S W = S (X- t) 8 i S (v ff)' 



wo Si eine erzeugende Substitution von /' ist. Wenn £ ein Fixpunkt von S ( ist. liegt der Punkt 

 S ~N l -i ($ ills Eckpunkt einer Sichel N ,m ' Stufe auf der Berandung von B„ oder innerhalb B„. 

 Der mit Ä^ !,.(£) inbezug auf r„ äquivalente Punkt Ä (v _.v)(ö muss dann entweder mit dem 

 ersteren Punkt zusammenfallen oder ausserhalb B„ liegen, denn zwei verschiedene Eckpunkte 

 der Randsicheln von B„ können nicht mit einander inbezug auf 1„ konjugiert sein. Im ersten 

 Falle, wo S ( „] offenbar eine erzeugende Substitution von /"„ oder eine Potenz einer solchen Sub- 

 stitution ist, hat man v — N = N—l, oder v = 2N—l, im zweiten Falle ist wieder i'-JV> 

 N—l oder also i'>2i\ T — 1. womit unsere Behauptung bewiesen ist 



B. Bildung der Hauptfunktionen. 



10. Die automorphen Funktionen einer Gruppe vom Geschlecht Null können bekanntlich 

 durch eine spezielle unter ihnen rational dargestellt werden. Um diese Hauptfunktion, die im 

 Fundamentalbereich einwertig ist, im vorliegenden Falle eindeutig zu fixieren, setzen wir fest, 

 dass sie in der Umgebung des unendlich fernen Punktes eine Reihenentwicklung der Form 



Z Z 2 



gestatte. Dass zwei verschiedene Funktionen dieser Bedingung nicht genügen können, ist daraus 

 einzusehen, dass im entgegengesetzten Falle ihre Differenz eine überall endliche automorphe Funk- 

 tion, also eine Konstante sein würde, die hier insbesondere den Wert Null hätte, weil in der 

 obigen Reihenentwicklung kein von z freies Glied auftritt. 



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