Über die numerische Ausführung der Uniformisierung. II 



Hinsichtlich der unendlichen Kols*' der in obiger Weise definierten Hauptfunktionen 



(> s > /'(-)■ fi(ß)> M») f.W. • ■ ■ 



der sukzessiven Untergruppen gilt der folgende 



Satz. Die Gleichung 



lim /„ (^) = 



besteht gleichmässiy in jedem Bereich, der kernen Grenzpunkt der Gruppe I im Innern oder auf 

 dem Rande enthält. 



Den entsprechenden Satz haben Poincaré ') und Schlesinger 2 ) für gewisse Hauptkreis- 

 gruppen bewiesen. In unserem Beweis werden wir einem Verfahren folgen, welches von Koebe 

 u. a. beim Beweis des S. 6 erwähnten allgemeinen Uniformisierungssatzes angewandt worden 

 ist 3 ) und welches wesentlich auf dem Verzerrungssatze und der Cauchyschen Integralformel beruht. 



11. Wir wählen : zunächst im Innern von B, ferner die Zahl N beliebig und dann n so 

 gross, dass B„ von Sicheln begrenzt ist. die sämtlich von N ler oder höherer Stufe, sind. Nach 

 N:o 8 ist dies stets möglich, wenn keine parabolischen Substitutionen vorhanden sind. In dem 

 folgenden Beweis wird diese beschränkende Voraussetzung gemacht 4 ). 



Wir bezeichnen mit 6',, eine beliebige Randkurve des Bereichs F„. welcher von der Ge- 

 samtheit der Sicheln ft ter Stufe begrenzt ist. Für /j,<N ist dann F ß sicher ein Teil von B„ . 



Um den Nullpunkt als Mittelpunkt ziehen wir jetzt einen Kreis K mit dem Radius q, 

 welcher den Punkt z sowie die Gesamtheit der Sicheln umschliesst. Für die Funktion 



</«(*) = /» <~ ? )-~> 



welche im Bereiche B„ überall eindeutig und regulär ist, hat man auf Grund des Cauchyschen 

 Lehrsatzes die Darstellung 



(9) 





wo für Cp. der Reihe nach sämtliche Randkurven von F ß zu setzen sind. 



Das letzte Integral hat offenbar den Wert Null. Ein beliebiges (îlied der ersten Summe 

 schreiben wir in der Form 



J y-(ö-yn(ü dg! 



») 2 ) Vgl. die die Noten 2 ) und 3 ) S. 4. 

 :i i Mathematische Annalen, Bd. 69, S. 1 — 81. 



*l Wir werden später unter gewissen Voraussetzungen einen neuen Beweis dieses Satzes geben, welcher 

 auch im Falle parabolischer Substitutionen gültig bleibt. 



N:o 7. 



