12 P. J. Myrberg. 



wo C ein auf der Kurve C M beliebig genommener Punkt ist. Wenn d die kleinste Entfernung' 

 des Punktes z von der Berandung des Bereichs B ist, wenn ferner A^ die Schwankung von 

 f n (z) auf G'„. und l ß die Länge von C,, bedeutet, so wird ersichtlich das obige Integral dem s b- 

 soluten Betrage nach kleiner als 



und es gilt also die Ungleichung 



die Summierung über die sämtlichen Randkurven von F^ bzw. die bezüglichen Schwankungen 

 von f„ (z) erstreckt. 



Für den Beweis des Satzes ist es also hinreichend zu zeigen, dass bei einer beliebig vor- 

 geschriebenen kleinen positiven Zahl e die Ungleichungen 



ai) £/;<*. 2>r<* 



stets für genügend grosse Werte gelten, wenn /u passend gewählt ist. 



12. Es sei S, L {z) diejenige Substitution der Gruppe r. welche den Fundamentalbereich B 

 auf einen Teilbereich von F ti abbildet, der mit F^ die Raudkurve C ß gemeinsam hat. Die 

 Grösse A^ können wir dann als die Schwankung der Funktion 



>lj(z) = f H (S ll (z)) 



auf der zu C ß äquivalenten Bandkurve C> des Bereichs B auffassen. Wenn wir nunmehr 

 jtt<iV— 1 wählen, so wird <p (z) eindeutig und einwertig nicht nur in B, sondern auch in dem 

 grösseren Bereich F x , welcher von den Sicheln zweiter Stufe begrenzt ist und den Bereich 

 B als einen ganz im Innern liegenden Teilbereich enthält. 



Auf den innerhalb des oben definierten Kreises K liegenden Teil B von B, wo ip (z) 

 eindeutig, regulär und einwertig ist, wollen wir nun den Koebescben Verzerrungssatz in seiner 

 allgemeinen Form ') anwenden. Wir erhalten dann für zwei beliebige Punkte z x und z 2 des Be- 

 reichs B die doppelte Ungleichung 



F< 





<q, 



wo q eine nur von der Form des Bereichs B und von q abhängige positive Grösse ist. 



i») 



Es sei jetzt x ein Kreis in B mit dem Flächeninhalt t , ferner t, L der Inhalt des ver 

 mittels ip{z) = f„(S ll .{z)) erhaltenen schlichten Bildbereichs von i£ . Dann ist 



(12) *?>\V(*)\mn.-**> 



') Vgl. R. Fbicke und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. II, S. 514. 



Tom. XLVIJ1. 



