über die numerische Ausführung der Uniformisierung. 13 



und auf der anderen Seite ist 



(12)' A.„ < t!>'(z) | M „. St . 



wo /,','" die Länge von C/ bezeichnet. In diesen Ungleichungen sind die extremen Werte im 

 Bereiche B inkl. des Randes zu nehmen. Aus (12) und (12)' folgt dann 



A w q* V* 



(13) /=> < U, " 



13. Wenn wir Sp die Gesamtheit derjenigen Substitutionen durchlaufen lassen, deren zu- 

 gehörige Polygone innerhalb F x - i liegen, erhalten wir vermittels der Funktionen /„ {Sp (z)) eine 

 Anzahl Bildbereiche von x , welche getrennt von einander und innerhalb eines gewissen von 

 n unabhängigen Kreises liegen. 



Der erste Teil dieser Behauptung folgt unmittelbar daraus, dass x innerhalb des Funda- 

 nientalbereichs B gewählt wurde und dass f„{z) i in Bereiche F N -\ einwertig ist, Um den 

 letzteren Teil zu erklären, weisen wir auf den bekannten Satz von Koebe ») hin, wonach eine für 



0< z\<B 



eindeutige, reguläre und einwertige analytische Funktion, welche in der Umgebung des Null- 

 punktes eine Reihenentwicklung der Form 



besitzt, auf der Peripherie des Kreises 



k 

 dem absoluten Betrage nach unterhalb — liegt, wo k eine gewisse, von der Wahl der Funk- 

 tion unabhängige numerische Konstaute ist, Auf die Funktion/',, f-j angewandt, gibt uns dieser 

 Satz die Ungleichung 



l/(3)l |al=f <*<? 



die für jeden Wert für n gilt. Dann ist aber 



2<? ) <**v. 



die Summieruug über alle vermittels der verschiedenen Funktionen f„ (Sp (z)) erhaltenen Bild- 

 bereiche von K erstreckt. Indem wir unter Op allgemein diejenigen Glieder , t ß zusammenfas- 

 sen, deren entsprechende Polygone am Rande des Bereichs Fp innerhalb desselben liegen, kön- 

 nen wir die obige Ungleichung iu der Form 



A l 



V a n <C it k 2 Q l 

 darstellen. f = 



) über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissen- 

 schaften zu Göttingen, 1907). 



N:o 7. 





&. 



