III. Aufstellung der Transformationsgleichungen. 



14. Wir sehen jstzi zur Herleitung: der Transforinationsgleichungen über, d. h. derjenigen 

 Beziehungen, welche die analytische Abhängigkeit der automorphen Hauptfunktionen von einan- 

 der darstellen, [in Falle endlicher /j, auf welchen wir uns zunächst beschränken wollen, sind 

 jene Beziehungen von algebraischem Charakter. 



Wir denken uns die Substitutionen von I], in eine Tafel der Form (6) gebracht, wo die 

 erste Horizontalreihe die Substitutionen von r p + l umfasst. Dom Übergang von r p + 1 zu r p+2 

 entsprechend ersetze man die oberste Horizontalreihe durch eine Anzahl von neuen, wobei eine 

 Zerlegung der übrigen Horizontalreihen von selbst erreicht wird. Nach q — p derartigen Schrit- 

 ten erhält man die Substitutionen von 1), in einer eudlichen Anzahl v Horizontalreihen geord- 

 net, wobei die Substitutionen $ der Untergruppe I\, die oberste Reihe bilden und ferner die 

 Substitutionen der /'"" Hoiizontalreihe die Form T t -\S haben, wo 



1 , T, , T 2 , .... T„ __ 1 



ein inbezug auf I' p genommenes Repräsentanteusystem von /', bilden. Dann besteht der Funda- 

 tnentalbereich von r q aus v Polygonen von /',,, und die v Substitutionen T sind gerade die die- 

 sen Polygonen zugeordneten Substitutionen von r p . 



15. Die verschiedenen Funktionen von z, zu welchen man gelaugt, wenn das Argument 

 von f a (g) allgemein durch eine Substitution von r p transformiert wird, sind mit je einer der 

 Funktionen 



(14) f q (z), f t (T x (z)), f,(T t <A), .... f f Çr,_i«)) 



identisch. Aus der EinWertigkeit von /, (~) im Fundamentalbereiche B q folgt insbesondere, dass 

 unter den zuletztgeschriebenen Funktionen keine zwei identisch sein können. Wenn man ferner 

 in den Funktionen (14) das Argument g durch irgend eine Substitution von I), transformiert, 

 so werden sie nur unter einander vertauscht. Folglich bleibt für die genannten Substitutionen 

 jeder symmetrische Ausdruck der Funktionen (14) ungeändert. Ein solcher Ausdruck stellt also 

 eine automorphe Funktion von /',, dar. und ist mithin eine rationale Funktion der Hnnptfunktion 

 f p (z) dieser Gruppe. 



N:o 7. 



