16 P. J. M\ RBE ae. 



Speziell sind die v elementaren symmetrischen Funktionen von (14) rationale Funktionen 

 von fp( z lt die nur für z = 00 und die inbezug auf f p äquivalenten Stellen von erster Ordnung 

 unendlich werden. Sie sind aber dann ersichtlich ganze lineare Funktionen von f p (2). Hiermit 

 gewinnt man für die zwischen den Hauptfunktionen f p (2) und / 7 (z) herrschende Gleichung- die 

 Form 



( i5) /;; (z) + £ (A, r p (*) + b„) /;; («) = o, 



„ - 



wo wegen der Identität 



f. (a) + f q (1\ (z)) +.:.+f t (T, , (zV) = /„ . : ! 

 speziell 



A v -i = -l, 5„_i = 



ist. Nach /,, m aufgelöst, kann hiernach die Gleichung (15> in die Form 



C, 



(15)' f, (*) = /j(«) + 2 



/,(D-/,(T,(oo)) 



gebracht werden, wo Z 1 » das Repräsentantensystem von r g für die Gruppe /), durchläuft Ful- 

 das Residuum C„ berechnet man leicht den Wert 



C v = -\f'(T,(oo)). 



Zur Bestimmung der Koeffizienten A, B in der Gleichung (15) bemerken wir, dass diese 

 Gleichung durch q — p Resolventen ersetzt werden kann, die von derselben Form sind und bei 

 welchen q—p = l ist. Für diese Resolventeu gewinnt man einen äusserst einfachen Ausdruck 

 in folgender Weise. 



Es seien ct p , ß p die Fixpunkte derjenigen elliptischen Substitution, deren verschiedene Po- 

 tenzen das Repräsentantensystem der Untergruppe /^ + i für die Gruppe /',, bilden; ferner sei 

 (i p ihre Periode. Wir setzen der Kürze halber 



fp (s) = ■',. • fg + 1 (*0 = Xp + 1 , 



f JI (cip) = a p , fp(ß P ) = b p , f P +i(a P ) = c p , f p + i{ß p ) = d p . 



Für x p und x p + \ haben wir dann in der Umgebung von « p Reihenentwicklungen der Form 



fp V-p + ! 



(16) x p = a p + hp. p (z - a p ) + hp p + , (z - «„) -\ 



•'',, + i~Cp+ h (~ - <*p) + h (« - «p) 2 -\ ) 



wo hp, und k, von Null verschieden sind, und entsprechende Reihen in der Umgebung von ß p . 

 Weil ferner aus (15) x p als eine rationale Funktion von x 3 erhalten wird, deren Ordnung v iu 

 unserem Spezialfälle gleich fi p ist, haben wir eine Relation der Form 



V s„ (pe p + 1 - c„)" 



Xp dp n = U 



oo P -1) P ~>£ 



> t„ (Xp + x — d p ) 



„ = h 



Tom. XLVIII. 



